两点间的距离例 1 已知点 A (–1，2)，在 x 轴上求一点，使|PA| = |PB|，并求|PA|的值.解：设所求点 P (x，0)，于是有∴x2 + 2x + 5 = x2 – 4x + 11解得 x = 1∴所求点 P (1，0)且经典习题例 1 已知点 A(3，6)，在 x 轴上的点 P 与点 A 的距离等于 10，求点 P 的坐标【解析】设点 P 的坐标为 (x，0)，由|PA| = 10，得： 解得：x = 11 或 x = –5.所以点 P 的坐标为(–5，0)或(11，0).例 2 在直线 l：3x – y – 1 = 0 上求一点 P，使得：（1）P 到 A(4，1)和 B(0，4)的距离之差最大；（2）P 到 A(4，1)和 C(3，4)的距离之和最小.【解析】（1）如图，B 关于 l 的对称点 B′(3，3).AB′：2x + y – 9 = 0由 解得 P(2，5).（2）C 关于 l 对称点由图象可知：|PA| + |PC|≥|AC′|当 P 是 AC′与 l 的交点时“=”成立，∴.例 3 如图，一束光线经过 P (2，1)射到直线 l：x + y + 1 = 0，反射后穿过点 Q (0，2)求：（1）入射光线所在直线 的方程； （2）沿这条光线从 P 到 Q 的长度.【解析】（1）设点 Q′(a，b)是 Q 关于直线 l 的对称点因为 QQ′⊥l，k1 = –1，所以又因为 Q′Q 的中点在直线 l 上，所以所以得，所以 Q′(–3，–1)因为 Q′在入射光线所在直线 l1上，设其斜率为 k，所以l1：即 2x – 5y + 1 = 0（2）设 PQ′与 l 的交点 M，由（1）知|QM| = |Q′M|所以|PM| + |MQ| = |PM| + |MQ′| = |PQ′| = 所以沿这光线从 P 到 Q 的长度为.入射光所在直线方程为 2x – 5y + 1 = 0.
