第 2 讲 一元二次不等式的解法 本专题在初中学习方程、不等和函数的基础上，根据高中学习的需要，共同学习简单的二次方程组及一元二次不等式的解法。问题 1： 二次函数 y＝x2－x－6 的对应值表与图象如下：x－3－2－101234y60－4－6－6－406观察：由对应值表及函数图象可知当 x ＝－ 2 ， 或 x ＝ 3 时，y＝0，即 x2－x＝6＝0；当 x ＜－ 2 ，或 x ＞ 3 时，y＞0，即 x2－x－6＞0；当－ 2 ＜ x ＜ 3 时，y＜0，即 x2－x－6＜0．思考：这就是说，如果抛物线 y= x2－x－6 与 x 轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么一元二次方程 x2－x－6＝0 的解就是 x1＝－2，x2＝3；同样，结合抛物线与 x 轴的相关位置，可以得到一元二次不等式 x2－x－6＞0 的解是 x＜－2，或 x＞3；一元二次不等式 x2－x－6＜0 的解是－2＜x＜3．上例表明：由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集．问题 2：对于一般的一元二次不等式 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)怎样解呢？【归纳总结】一元二次不等式的解：函数、方程与不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1,x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－无实根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集xx2 x≠－ 一切实数ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集x1＜x＜x2无解无解 今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．【典例解析】解下列一元二次不等式：（1）x2＋2x－3≤0； （2）x－x2＋6＜0；（3）4x2＋4x＋1≥0； （4）x2－6x＋9≤0； （5）－4＋x－x2＜0．（4）整理，得(x－3)2≤0.由于当 x＝3 时，(x－3)2＝0 成立；而对任意的实数 x，(x－3)2＜0 都不成立，∴原不等式的解为 x＝3．（5）整理，得 x2－x＋4＞0．Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．【解题反思】注意一元二次不等式的解题步骤为一看（二次项系数的正负）；二判（Δ 的情况）；三算（有根求根）； 四写出解集。【变式训练】1.解下列不等式：（1） ；（2）；【解析】（1）原不等式可化为， ，方程的两根是，∴原不等式的解集为．（2）原不等式等价于；∴原不等式的解集为．2.已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（...
