第 2 讲 三角形的重心、垂心、外心和内心三角形是最重要的基本平面图形，它包含了丰富的知识，也蕴含了深刻的思想，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题。三角形与高中三角函数、向量、解三角形及立体几何等部分都有密切的联系，因而扎实掌握三角形的相关知识是进一步学习的基础。 初中阶段大家已经学习了三角形边上中线、高线、垂直平分线及内角平分线的一些性质。如三角形角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三角形边的垂直平分线上的点到这条边两个端点的距离相等，诸如此类。在高中学习中，还会涉及到三角形三条中线交点（重心）、三条高线交点（垂心）、三条边的垂直平分线交点（外心）及三条内角平分线交点（内心）的问题，因而有必要进一步了解它们的性质。【知识梳理】三角形的四心(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等．(2)高线：三角形的三条高线交于一点，这点叫做三角形的垂心．(3)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．(4)垂直平分线：三角形的三条垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点的距离相等．【高效演练】1．如图所示，在△ABC 中，点 P 是△ABC 的内心，则∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝ 度．2．设为的重心，且，，，则的面积为 ．【解析】由，，，有，知两中线，垂直．于是．【答案】183．已知、分别为锐角的垂心和外心，，垂足为，则________．【解析】可延长交的外接圆于，证明四边形为平行四边形即可．【答案】2∶14. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，在 OB 上任取一点 P，连结 AP，过 D 作 AP 垂线交 OA 于 Q 点．求证：OP＝OQ．【解析】 在△APD 中，由 AO⊥PD，DQ⊥AP 可知，点 Q 是△APD 的垂心，连结 PQ，必有 PQ⊥AD． AB⊥AD，∴PQ∥BA，∴又 OA＝OB，∴OP＝OQ．5. 如图 3，在△ABC 中，AB＝AC，过 BC 的中点 D 作 DE⊥AC 于点 E，G 是 DE 的中点，求证：AG⊥BE． 6.求证：三角形的三条高交于一点.已知 中，AD 与 BE 交于 H 点.求证 .证明 以 CH 为直径作圆，在以 CH 为直径的圆上，.同理，E、D 在以 AB 为直径的圆上，可得.，又与有公共角，，即.7.（1）设 G 是△ABC 的重心，证明：△GBC，△GAC，△GAB 的面积相等．（2）利用（1）的结论，证明：三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的 2 倍...
