1.3.2 空间运算的坐标表示学 习 目 标核 心 素 养1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直．(重点)2．掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题．(重点、难点)1.通过空间向量的坐标运算及空间向量夹角及长度的学习，培养学生的数学运算核心素养．2．借助利用空间向量的坐标运算解决平行、垂直问题，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.平面向量的坐标运算设 a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)a±b＝(a1±b1，a2±b2)，λa＝(λa1，λa2)(λ∈R)．a·b＝a1b1＋a2b2.(2)a∥b(b≠0)⇔a＝λb，即 a1＝λb1，a2＝λb2.a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＝0.(3)|a|＝，AB＝(x2－x1，y2－y1)．cos〈a，b〉＝.思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？1．空间向量运算的坐标表示设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示：运算坐标表示加法a＋b＝( a 1＋ b 1， a 2＋ b 2， a 3＋ b 3)减法a－b＝( a 1－ b 1， a 2－ b 2， a 3－ b 3)数乘λa＝(λ a 1， λ a 2， λ a 3) ， λ∈ R 数量积a·b＝a1b1＋ a 2b2＋ a 3b32.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则平行(a∥b)a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔垂直(a⊥b)a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 (a，b 均为非零向量)模|a|＝＝夹角公式cos〈a，b〉＝＝思考：若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a∥b 一定有＝＝成立吗？[提示] 当 b1，b2，b3均不为 0 时，＝＝成立．3．向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则(1)AB＝( a 2－ a 1， b 2－ b 1， c 2－ c 1)；(2)dAB＝|AB|＝.1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，则＝＝.( )(2)四边形 ABCD 是平行四边形，则向量AB与DC的坐标相同．( )(3)若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.( )[提示] (1)× (2)√ (3)√2．已知向量 a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则 4a＋2b 等于( )A．(16,0,4) B．(8，－16,4)C．(8,16,4) D．(8,0,4)D [4a＝(12，－8,4)，2b＝(－4,8,0)，∴4a＋2b＝(8,0,4)．]3．已知向量 ...
