二 用数学归纳法证明不等式举例学习目标：1.会用数学归纳法证明简单的不等式．(重点)2.会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．(难点)教材整理 用数学归纳法证明不等式阅读教材 P50～P53，完成下列问题．1．贝努利(Bernoulli)不等式如果 x 是实数，且 x>－1，x≠0，n 为大于 1 的自然数，那么有(1＋x)n>1 ＋ nx .2．在运用数学归纳法证明不等式时，由 n＝k 成立，推导 n＝k＋1 成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1 对于 n≥n0的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A．2 B．3C．5 D．6C [n 取 1,2,3,4 时不等式不成立，起始值为 5.]数学归纳法证明不等式【例 1】 已知 Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋)．[精彩点拨] 先求 Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意 Sn表示前 n 项的和(n>1)，首先验证 n＝2；然后证明归纳递推．[自主解答] (1)当 n＝2 时，S22＝1＋＋＋＝>1＋，即 n＝2 时命题成立．(2)假设 n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即 S2k＝1＋＋＋…＋>1＋.当 n＝k＋1 时，S2k＋1＝1＋＋＋…＋＋＋…＋>1＋＋＋＋…＋>1＋＋＝1＋＋＝1＋.故当 n＝k＋1 时，命题也成立．由(1)(2)知，对 n∈N＋，n≥2，S2n>1＋都成立．此题容易犯两个错误，一是由 n＝k 到 n＝k＋1 项数变化弄错，认为的后一项为，实际上应为；二是＋＋…＋共有多少项之和，实际上 2k＋1 到 2k＋1是自然数递增，项数为 2k＋1－(2k＋1)＋1＝2k.1 ． 若 在 本 例 中 ， 条 件 变 为 “ 设 f(n) ＝ 1 ＋ ＋ ＋ … ＋ (n∈N ＋ ) ， 由 f(1) ＝ 1> ， f(3)>1 ，f(7)> ，f(15)>2，…” .试问：f(2n－1)与大小关系如何？试猜想并加以证明．1[解] 数列 1,3,7,15，…，通项公式为 an＝2n－1，数列，1，，2，…，通项公式为 an＝，∴猜想：f(2n－1)>.下面用数学归纳法证明：① 当 n＝1 时，f(21－1)＝f(1)＝1>，不等式成立．② 假设当 n＝k(k≥1，k∈N＋)时不等式成立，即 f(2k－1)>，当 n＝k＋1 时，f(2k＋1－1)＝f(2k－1)＋＋＋…＋＋>f(2k－1)＋＋…＋＝f(2k－1)＋>＋＝.∴当 n＝k＋1 时不等式也成立．据①②知对任何 n∈N＋原不等式均成立．【例 2】 证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．[精彩点拨] ⇒⇒[自主解答] (1)当 n＝1 ...
