高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换 8.2.4 三角恒等变换的应用 第1课时 半角的正弦、余弦和正切学案 新人教B版第三册-新人教B版高一第三册数学学案

第 1 课时 半角的正弦、余弦和正切学 习 目 标核 心 素 养1.了解由二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦和正切公式的过程．(一般)2.掌握半角的正弦、余弦和正切公式，能正确运用这些公式进行简单的三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．(重点、难点)1.通过半角的正弦、余弦和正切公式的推导，培养学生的逻辑推理的核心素养．2.借助半角的正弦、余弦和正切公式的应用，提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.半角公式sin＝±，cos＝±，tan＝±＝＝.思考：如何确定半角的正弦、余弦和正切公式的符号？[提示](1)如果没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号．(2)若给出角 α 的具体范围(即某一区间)时，则先求角所在范围，然后再根据角所在象限确定符号．1.若 cos α＝，α∈(0，π)，则 cos 的值为( )A． B．－ C． D．－C [由题意知∈，∴cos >0，cos ＝＝.]2.下列各式与 tan α 相等的是( )A． B．C． D．D [＝＝＝|tan α|；＝＝tan ；＝＝；＝＝tan α.]3.设 α∈(π，2π)，则等于________．sin [＝＝＝. α∈(π，2π)，∴∈，∴sin >0，故原式＝sin .]化简问题【例 1】 已知 π<α<，求＋的值．[思路探究] 解答本题可先用二倍角公式“升幂”，再根据的范围开方化简．[解] 原式＝＋ π<α<，∴<<，∴cos <0，sin >0.∴原式＝＋＝－＋＝－cos .要熟记一些可用公式的形式，如：1＋cos α＝2 cos2，1－cos α＝2 sin2，1±sin α＝等，解题时应有意识地将这些形式变形寻求思路．1.已知<θ<2π，试化简：－.[解] <θ<2π，∴<<π，∴0＜sin＜，－1＜cos＜－，从而 sin＋cos＜0，sin－cos＞0.∴原式＝－＝－＝－－＝－2sin .求值问题【例 2】 已知|cos θ|＝，且<θ<3π，求 sin ，cos ，tan 的值．[思路探究] ―→―→―→求[解] 由<θ<3π，且|cos θ|＝可知，cos θ＝－，∈.由 sin2＝＝＝，∴sin ＝－＝－.由 cos2＝＝＝，∴cos ＝－.∴tan ＝＝＝2.已知 θ 的某三角函数值，求的相应三角函数值时，常借助于半角公式 sin2＝，cos2＝，tan ＝＝来处理，由于上述式子中可能涉及解的不定性，故在求解中应注意求的范围. 2.已知 sin －cos ＝－，450°<α<540°，求 sin α 及 tan 的值．[解] ＝1－sin α＝，∴sin α＝，∴sin cos ＝＝，∴＝＝，解得 tan ＝2 或 tan ＝. 450°<α<540°，∴225°<<270°，∴tan >1，∴tan ＝...