高中数学 第8章 向量的数量积与三角恒等变换 8.2 三角恒等变换 8.2.4 三角恒等变换的应用 第2课时 三角函数的积化和差与和差化积学案 新人教B版第三册-新人教B版高一第三册数学学案

第 2 课时 三角函数的积化和差与和差化积学 习 目 标核 心 素 养1.能根据公式 Sα±β 和 Cα±β 进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式．(难点)2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．(重点)1.通过三角函数的积化和差与和差化积公式的推导，培养学生逻辑推理核心素养．2.借助积化和差与和差化积公式的应用，提升学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.1.积化和差公式cos αcos β＝[cos( α ＋ β ) ＋ cos( α － β )] ；sin αsin β＝－ [cos( α ＋ β ) － cos( α － β )] ；sin αcos β＝[sin( α ＋ β ) ＋ sin( α － β )] ；cos αsin β＝[sin( α ＋ β ) － sin( α － β )] ．2.和差化积公式设 α＋β＝x，α－β＝y，则 α＝，β＝.这样，上面的四个式子可以写成，sin x＋sin y＝2sin cos ；sin x－sin y＝2cos sin ；cos x＋cos y＝2cos cos ；cos x－cos y＝－ 2sin sin .思考：和差化积公式的适用条件是什么？[提示] 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式．1.计算 sin 105°cos 75°的值是( )A． B． C．－ D．－B [sin 105°cos 75°＝(sin 180°＋sin 30°)＝.]2.sin 20°·cos70°＋sin10°·sin50°的值为( )A．－ B． C． D．－B [sin20°·cos70°＋sin10°·sin50°＝＋[cos(10°－50°)－cos]＝＋＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝.故选 B．]3.下列等式正确的是( )A．sin x＋sin y＝2sin sin B．sin x－sin y＝2cos cos C．cos x＋cos y＝2cos cos D．cos x－cos y＝2sin sin C [由和差化积公式知 C 正确．]积化和差问题【例 1】(1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.(2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.[思路探究] 利用积化和差公式化简求值，注意角的变换，尽量出现特殊角．[解](1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝.(2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°＝cos 10°cos 50°cos 70°＝＝cos 70°＋cos 40°cos 70°＝cos 70°...