1.3.1 推出与充分条件、必要条件课堂导学三点剖析一、充分条件与必要条件的判断【例 1】在下列各题中，判断 A 是 B 的什么条件，并说明理由.(1)A：|p|≥2，p∈R.B：方程 x2+px+p+3=0 有实根；(2)A：圆 x2+y2=r2与直线 ax+by+c=0 相切.B：c2=(a2+b2)r2.解析：(1)当|p|≥2 时，例如 p=3，则方程 x2+3x+6=0 无实根，而方程 x2+px+p+3=0 有实根，必有 p≤-2 或 p≥6，可推出|p|≥2，故 A 是 B 的必要不充分条件.(2)若圆 x2+y2=r2 与直线 ax+by+c=0 相切，圆心到直线 ax+by+c=0 的距离等于 r，即 r=22||bac，所以 c2=(a2+b2)r2；反过来，若 c2=(a2+b2)r2，则22||bac=r 成立，说明 x2+y2=r2的圆心(0,0)到直线 ax+by+c=0 的距离等于 r，即圆 x2+y2=r2与直线 ax+by+c=0 相切，故 A 是 B的充分必要条件.温馨提示对于涉及充分必要条件判断的问题，必须以准确、完整理解充分、必要条件的概念为基础，有些问题需转化为等价命题后才容易判断.二、探究充分条件与必要条件【例 2】 设定义域为 R 的函数 f(x)=,1,01||,1|lg|xxx则关于 x 的方程 f2(x)+bf(x)+c=0 有 7个不同实数解的充要条件是( )A.b＜0 且 c＞0B.b＞0 且 c＜0C.b＜0 且 c=0D.b≥0 且 c=0解析：f(x)=1|,)-lg(1|1, ,0,1|,)1lg(|xxxxx故函数 f(x)的图象如右图.由图知，f(x)图象关于 x=1 对称，且 f(x)≥0,若方程 f2(x)+bf(x)+c=0 ①有 7 个解，则方程 t2+bt+c=0 ②有两个不等实根，且一根为正，一根为 0.否则，若方程②有两相等实根，则方程①至多有 4 个解，若方程②有两个不等正实根，则方程①有 8 个解. f(x)=0 满足方程，则 c=0,又 另一个 f(x)＞0,1∴b=-f(x)＜0.故 b＜0 且 c=0,选 C.答案：C温馨提示充分与必要条件的寻找，要重视它们的定义三、充要条件的证明【例 3】 证明：关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一根为-1 的充要条件是 a-b+c=0.证明：①充分性 a-b+c=0∴a·(-1)2+b·(-1)+c=0∴x=-1 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根∴a-b+c=0 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个根为-1 的充分条件.② 必要性 x=-1 是方程 ax2+bx+c=0 的根∴a·(-1)2+b·(-1)+c=0 即 a-b+c=0∴a-b+c=0 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个根为-1 的必要条件.综合①②关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一个根为-1 的充要条件是 a-b+c=0.温馨提示p 是 q 的充要...
