高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 第三节 相似三角形的判定课堂导学案 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学学案

第三节 相似三角形的判定课堂导学三点剖析一、相似三角形的判定【例 1】在△ABC 中,EF∥BC,DF∥AB,求证:(1)△AEF∽△FDC;(2)ABBEBCBD =1.图 1-3-1(1)证法一： EF∥BC,∴∠AFE=∠C.又 DF∥AB,∴∠A=∠DFC.∴△AEF∽△FDC.证法二: EF∥BC,∴△AEF∽△ABC.又 DF∥AB,∴△ABC∽△FDC.∴△AEF∽△FDC.(2)思路分析:证明ABBEBCBD =1 可以考虑ABBEBCBD =xzxy (其中 y+z=x),进行证明 BCBD =xy , ABBE = xz .证明: DF∥AB,∴ BCBD = ACAF .又 EF∥BC,∴ ABBE = ACFC .∴ABBEBCBD = ACAF + ACFC=ACACACFCAF=1.二、利用本节预备定理证明平行【例 2】如图 1-3-4,线段 EF 平行于ABCD 的一边 AD,BE 与 CF 交于一点 G,AE 与 DF 交于点 H.求证:GH∥AB.图 1-3-41证明： 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ADBC. EF∥AD,∴△HEF∽△HAD.∴ EHAH = EFAD . EF∥BC,∴△GEF∽△GBC.∴ EGBG = EFBC .∴ EHAH = EGBG .∴EGEGBGEHEHAH,即EGBEEHAE .∴GH∥AB.三、利用相似三角形探究【例 3】如图 1-3-6,E 为△ABC 的边 AC 上一点, ECAE = 21 ,连结 BE.图 1-3-6(1)若 G 为 BE 的中点,连结 AG 并延长交 BC 于 D,求 BD∶DC 的值.(2)若 BG∶GE=2∶1,则 BD∶DC 的值将如何变化?(3)若 ECAE 的值由 21 改变为 nm ,G 仍为 BE 中点,求 BD∶DC.解析：(1)过 E 作 EH∥BC 交 AD 于 H,则在△BDG 和△EHG 中,,,,EGHBGDEGBGHEGDBG∴△BDG≌△EHG.∴BD=EH.又 EH∥CD,∴ DCHE = ACAE = 31 .∴ DCBD = 31 .(2)如图 1-3-7,过 E 作 EH∥BC 交 AD 于 H,则△BDG∽△EHG.图 1-3-7∴ EHBD = EGBG = 12 .∴BD=2EH.又 EH∥DC,2∴ CDEH = ACAE = 31 .∴ DCBD = CDEH2= 32 .(3)原理同(1).DCBD = DCHE = ACAE =nmm.各个击破类题演练 1如图 1-3-2,梯形 ABCD 中,D∥BC(AD＜BC),E 为 AD 的中点,连结 CE 并延长交 BA 的延长线于G,交 BD 于 F.求证:EF·CG=EG·CF.图 1-3-2证明: AE∥BC,∴△AEG∽△BCG.∴BCAECGEG .又 ED∥BC,∴△DEF∽△BCF.∴ CFEF = BCDE . E 为 AD 的中点,∴ BCAE = BCDE .∴ CGEG = CFEF .∴EF・CG=EG・CF.温馨提示 要切实注意三角形相似的顶点对应关系,此题还有其他证法.变式提升 1如图 1-3-3,ABCD 中,AD=5,AB=10,AE=4,且 AF⊥BC,求...