三 相似三角形的判定及性质2 相似三角形的性质预习导航课程目标学习脉络1．掌握相似三角形的性质．2．能利用相似三角形的性质解决有关问题.1．相似三角形的性质定理(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．思考 1 相似三角形与全等三角形的性质有哪些不同？提示：如下表所示.全等三角形相似三角形对应边相等对应边成比例对应角相等对应角相等对应中线相等对应中线的比等于相似比对应角平分线相等对应角平分线的比等于相似比对应高相等对应高的比等于相似比周长相等周长比等于相似比面积相等面积比等于相似比的平方外接(内切)圆的直径相等外接(内切)圆的直径比等于相似比外接(内切)圆的周长相等外接(内切)圆的周长比等于相似比外接(内切)圆的面积相等外接(内切)圆的面积比等于相似比的平方2．两个相似三角形外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．思考 2 两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比、面积比与相似比有怎样的关系？并试着证明．提示：两个相似三角形的内切圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．下面给出这个结论的证明．已知△ABC∽△A′B′C′，⊙O 和⊙O′分别为△ABC 和△A′B′C′的内切圆，相似比为 k.1 求证：⊙O 和⊙O′的直径比为 k，周长比为 k，面积比为 k2.证明：连接 O 和切点 D，O′和切点 D′，所以 OD⊥AB，O′D′⊥A′B′.连接 OA，OB，O′A′，O′B′.因为△ABC∽△A′B′C′，所以∠BAC＝∠B′A′C′.又∠DAO＝∠BAC，∠D′A′O′＝∠B′A′C′，所以∠DAO＝∠D′A′O′.同理∠DBO＝∠D′B′O′.所以△AOB∽△A′O′B′，相似比为 k.因为 OD，O′D′分别为△AOB 和△A′O′B′的高，所以＝k，即＝k，所以＝k.因为⊙O 的周长为 2π·OD，⊙O′的周长为 2π·O′D′，所以＝k.因为⊙O 的面积＝π(OD)2，⊙O′的面积＝π(O′D′)2，所以＝＝k2.于是结论得证．2
