高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量的线性运算课堂导学案 新人教B版选修2-1-新人教B版高二选修2-1数学学案

3.1.1 空间向量的线性运算课堂导学三点剖析一、向量求和的三角形法则【例 1】 已知三棱椎 O-ABC 中,G 为△ABC 的重心,OA=a,OB=b,OC=c,试用 a,b,c 来表示OG.思路分析:先在△OBC 中考虑中线 OD,然后在△OAD 中考虑 G 为 AD 的分点,分成的比是 2∶1,再次使用向量的运算性质即可.解：OG=OA+ AG=a+ 32 · 21 （ AB + AC ）=a+ 31 (OB -OA +OC -OA )= 31 (a+b+c)温馨提示(1)把平面内的三角形法则推广到空间也有AFEFDECDBCAB（2）常用的结论：若 AD 是△ABC 的中线，则有 AD = 21 （ AB + AC ）二、在平行六面体中的向量问题【例 2】 已知平行六面体 ABCD—A′B′C′D′,点 M 是棱 AA′的中点,点 G 在对角线 A′C 上且 CG∶GA′=2∶1,设CD=a,CB=b, CC =c,试用 a,b,c 表示向量CA, AC ,CM、CG.思路分析:要想用 a,b,c 表示出所给向量,只需结合图形,充分运用空间向量加法和运算律得到.解:如下图所示(1)CA=CB+CD=a+b.(2) AC =CA+ CC =a+b+c.1(3)CM=CA+ AM=CB +CD + 21CC =a+b+ 21 c.(4)CG = 32AC = 32 (a+b+c).温馨提示 在平行六面体内,经常会用到平行四边形法则,另外,“三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量”这一结论也经常使用.三、利用向量解决其他问题【例 3】 证明:四面体每一个顶点与对面重心所连的线段共点,且这点到顶点的距离是它到对面重心的距离的三倍.思路分析:要证四面体的顶点与对面重心连线共点,且到顶点的距离是它到对面重心的距离的三位,只须在这 4 条直线 AG1,BG2,CG3,DG4上分别取满足条件的 4 点 H1,H2,H3,H4,然后证明H1,H2,H3,H4四点重合即可.证明:设 G1,G2,G3,G4分别是四面体 D—ABC 中四个面的重心（如下图），取四点 H1、H2、H3、H4,满足1AH = 431AG ；2BH= 432BG ；3CH = 433CG ；4DH= 434DG ；则22HH=AH1+ AB +2BH=431AG + AB + 432BG=43［ 31 （ AB + AC + AD ）］+ AB + 43 ［ 31 （ BA + BC + BD ）］=0所以，H1与 H2重合. 同理可证,H1与 H3、H1与 H4重合,故 H1、H2、H3、H4是同一点,且此点到某顶点的距离是它到对面重心距离的三倍.温馨提示 要证明 A,B 两点共点,只需证明 AB=0 即可;或者引入第三个点 C,证明CA=CB,也可说明点 A,B 共点.各个击破类题演练 1 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结...