3.1.1 空间向量的线性运算课堂探究探究一 空间向量的概念解决有关向量概念的问题，要熟练掌握空间向量的有关概念，注意区分向量与向量的模以及数量．相等向量只需方向相同，长度相等，与向量的起点和终点没有必然的联系．【典型例题 1】 给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量 a，b 满足|a|＝|b|，则 a＝b；③在正方体 ABCDA1B1C1D1中，必有AC＝A1C1；④若空间向量 m，n，p 满足 m＝n，n＝p，则 m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确的个数为( )A．4 B．3 C．2 D．1解析：当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，不一定有起点相同、终点相同，故①错；根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量 a 与 b 的方向不一定相同，故②错；根据正方体的性质，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，向量AC与A1C1的方向相同，模也相等，所以AC＝A1C1，故③正确；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为 1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错．要熟练掌握空间向量的有关概念．答案：C探究二 空间向量的线性运算对于无图形的向量线性运算要注意加、减、数乘向量运算的法则和运算律的应用，还要灵活地通过将一个向量化为它的相反向量进行加减转化；对于有图形的向量运算，则应在运用线性运算知识的基础上更关注图形本身的特征性质．【典型例题 2】 已知在平行六面体 ABCD A′B′C′D′中，M 为 CC′的中点(如图)．化简下列各表达式，并在图中标出化简结果的向量：(1)AB＋B′C′；(2)AB＋AD＋CC′.思路分析：(1)利用B′C′＝BC；1(2)利用AD＝BC.解：(1)AB＋B′C′＝AB＋BC＝AC.向量结果表示如图．(2)AB＋AD＋CC′＝AB＋BC＋CC′＝AB＋BC＋CM＝AM.向量结果表示如图．2
