第三章 数系的扩充与复数的引入十六世纪，人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的根时，为了研究问题的需要引入了复数．复数是由意大利米兰学者卡当首先引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受．高斯把复数与平面上的点一一对应使得复数与向量、解析几何、三角函数等密切联系起来．复数有向量表示、三角表示，指数表示等，满足四则运算等性质．它是复变函数论、解析数论、傅里叶分析、分形、流体力学、相对论、量子力学等学科中最基础的对象和工具．随着科学和技术的进步，复数理论不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且为证明机翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论．学习本章要注意感受人类理性思维在数系扩充中的作用．3.1 数系的扩充与复数的概念3.1.1 数系的扩充与复数的概念自主预习·探新知情景引入 某希望工程举行中学生夏令营，来到海滨城市青岛．一天，张明与王华面对着广阔的大海，有一番耐人寻味的对话．张明：海纳百川，心阔容海．海、心孰大？王华：夸张的手法，不可比较．张明：那么数 m，n 可否比较大小？王华：未必．同学们，你能准确回答张明的问题吗？新知导学 1．数系扩充的脉络、原则脉络：自然数系→整数系→有理数系→实数系→__复数系__原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则：(1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集；(2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律)__依然__适用；(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系__保持不变__；(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾．2．对于方程 x2＋2x＋3＝0，由于 Δ＝－8，所以方程在实数范围内无解，若引入一个新的数 i，使得 i2＝－1，则此方程的解可写成 x1＝__－ 1 － i __，x2＝__－ 1 ＋ i __.3．复数的定义：形如 a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位，满足 i2＝__－ 1 __.这一表示形式叫做复数的代数形式，a 与 b 分别叫做复数 z 的__实部__与__虚部__.全体复数构成的集合叫做__复数集__.4．复数相等的充要条件设 a、b、c、d 都是实数，那么 a＋bi＝c＋di⇔__a ＝ c 且 b ＝ d __.5．复数 z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0 的充要条件是__a ＝ 0 且 b ＝ 0 __，a＝0 是 z 为纯虚数的__必要不充分__条件．6．复数的分类(1)复数 z＝...
