3.1.4 空间向量的直角坐标运算课堂导学三点剖析一、空间向量坐标的表示【例 1】 已知正方体 ABCD—A1B1C1D1的棱长为 2，建立如下图坐标系，写出 B，C，D，B1，C1，D1点的坐标.解析:由空间向量坐标的定义可知.B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),B1(2,0,2),C1(2,2,2),D1(0,2,2).温馨提示 求空间向量的坐标要严格按照定义.二、空间向量坐标运算【例 2】 已知向量 a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),求 a·b,|a|,|b|及（2a+3b）·(a-2b).思路分析：两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积之和.解：（1）a·b=4×6+(-2)×(-3)+(-4)×2=22;(2)|a|=2a=222)4()2(4=36=6;(3)|b|=2b=492)3(6222=7;(4)(2a+3b)·(a-2b)=2a2+3a·b-4a·b-6b2=2×62-22-6×72=-244.温馨提示 空间向量的坐标运算应把握好新向量的坐标与原坐标的对应关系.三、向量坐标运算的应用【例 3】 已知空间三点 A（0，2，3）、B（-2，1，6）、C（1，-1，5）.(1)求以 AB、 AC为边的平行四边形的面积；（2）若|a|=3，且 a 分别与 AB、 AC垂直，求向量 a 的坐标.思路分析：（1）根据公式 S=absinθ(θ 为 a、b 边夹角)知首先必须求出 AB、AC夹角；（2）向量 a 由横坐标、纵坐标、竖坐标值决定，我们需要找到三个方程列一个方程组才能求得，1依题意这是容易办到的.解：（1） AB=(-2,-1,3), AC=(1,-3,2),∵cosθ=ACABACAB||=21491914632∴sinθ=23 .∴S=|AB|·|AC|·sinθ=37.(2)设 a=(x,y,z)，由题意，得.3,023,032222zyxzyxzyx解方程组得.1,1,1.1,1,1zyxzyx或∴a=(1,1,1)或（-1，-1，-1）.温馨提示 用向量的坐标解决实际问题时，往往与前面所学的知识相结合，构造方程组是求解坐标的一种很好的办法.各个击破类题演练 1 与点 P(1,3，5)关于原点成中心对称的点 P′的坐标是（ ）A.(-1,-3,-5) B.(-1,-3,5)C.(1,-3,5) D.(-1,3,5)答案：A变式提升 1 已知 i、j、k 是空间直角坐标系 O—xyz 的坐标向量，并且AB=-i+j-k,则 B 点的坐标为 ( )A.(-1，1，-1) B.(-i,j,-k)C.(1,-1,-1) D.（1，1，1）答案：A类题演练 2 若 a=(1,1,2),b=(3,0,-2),c=(2,-1,0),则 a+b+c 为（ ）A.（0，0，6） B.（6，0，0）C.（6，6，6） D.（0，6，0）2答案：B变式提升 2 下列各项中为单位向量的是（ ）A.a=(0,0,-1) B.b=(1,2,3) C.c=(1,1,1) D.d=( 21 ,21 , 21 )答案：A类题演练 3 已知 a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t)，则|b-a|的最小值是_________________.答案：553变式提升 3 如果三点 A(1,5,-2)、B（2，4，1）、C（a，3，b+2）在同一条直线上，那么( )A.a=3，b=-3 B.a=6，b=-1C.a=3，b=2 D.a=-2，b=1答案：C3
