高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.5 空间向量运算的坐标表示学案 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学学案

3.1.5 空间向量运算的坐标表示学习目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，并会判断两个向量是否共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题.知识点一 空间向量的坐标运算思考 设 m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，那么 m＋n，m－n，λm，m·n 如何运算？答案 m＋n＝(x1＋x2，y1＋y2)，m－n＝(x1－x2，y1－y2)，λm＝(λx1，λy1)，m·n＝x1x2＋y1y2.梳理 空间向量 a，b，其坐标形式为 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).向量运算向量表示坐标表示加法a＋b( a 1＋ b 1， a 2＋ b 2， a 3＋ b 3)减法a－b( a 1－ b 1， a 2－ b 2， a 3－ b 3)数乘λa( λa 1， λa 2， λa 3)数量积a·ba1b1＋ a 2b2＋ a 3b3知识点二 空间向量的平行、垂直及模、夹角设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式a∥ba＝λb(λ∈R)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)a⊥ba·b＝0a1b1＋ a 2b2＋ a 3b3＝ 0 模|a|＝| a | ＝ 夹角cos〈a，b〉＝cos〈a，b〉＝类型一 空间向量的坐标运算例 1 已知 a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则 b 等于( )A.(2，－4，2) B.(－2，4，－2)C.(－2，0，－2) D.(2，1，－3)答案 A解析 依题意，得 b＝a－(－1，2，－1)＝a＋(1，－2，1)＝2(1，－2，1)＝(2，－4，2).反思与感悟 关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算.(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标.跟踪训练 1 若向量 a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则 x＝________.答案 2解析 据题意，有 c－a＝(0，0，1－x)，2b＝(2，4，2)，故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，解得 x＝2.类型二 空间向量平行、垂直的坐标表示例 2 已知空间三点 A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设 a＝AB，b＝AC.(1)若|c|＝3，c∥BC.求 c；(2)若 ka＋b 与 ka－2b 互相垂直，求 k.解 (1)因为BC＝(－2，－1，2)，且 c∥BC，所以设 c＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ)，得|c|＝＝3|λ|＝3，解得 λ＝±1.即 c＝(－2，－1，2)或 c＝(2，1，－2).(2)因为 a＝AB＝(1，1，0)，b＝AC＝(－1，...