高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3.2 一元二次不等式的应用学案 新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学学案

第 2 课时 一元二次不等式的应用1．会解简单的分式不等式．2．会解不等式恒成立问题．3．会利用一元二次不等式解决一些实际问题.1．如何判断二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与 x 轴的相关位置？[答案] 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与 x 轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式 Δ＝b2－4ac 三种取值情况(Δ>0，Δ＝0，Δ<0)来确定2．若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则实数 a 应满足什么条件？[答案] 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R，则，解得 a∈∅，所以不存在 a 使不等式 ax2＋x－1>0 的解集为 R题型一解简单的分式不等式【典例 1】 解下列不等式：(1)<0；(2)≤2.[思路导引] 等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求得．[解] (1)由<0，得>0，此不等式等价于(x＋2)(x－1)>0，∴原不等式的解集为{x|x<－2 或 x>1}．(2)解法一：移项得－2≤0，左边通分并化简得≤0，即≥0，它的同解不等式为∴x<2 或 x≥5.∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}．解法二：原不等式可化为≥0，此不等式等价于①或②解①得 x≥5，解②得 x<2，∴原不等式的解集为{x|x<2 或 x≥5}．(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．[针对训练]1．解下列不等式：(1)≥0；(2)>1.[解] (1)原不等式可化为解得∴x<－或 x≥，∴原不等式的解集为.(2)解法一：原不等式可化为或解得或∴－30，化简得>0，即<0，∴(2x＋1)(x＋3)<0，解得－3－1，不合题意，故 a≠0.令 y＝ax2＋(a－1)x＋a－1， 原不等式对任意 x∈R 都成立，∴二次函数 y＝ax2＋(a－1)x＋a－1 的图象在 x 轴的下方，∴a<0 且 Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0...