高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式学案 新人教B版选修4-5-新人教B版高二选修4-5数学学案

3．2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式[读教材·填要点]贝努利(Bernoulli)不等式设 x>－1，且 x≠0，n 为大于 1 的自然数，则(1＋x)n>1 ＋ nx .[小问题·大思维]在贝努利不等式中，指数 n 可以取任意实数吗？提示：可以．但是贝努利不等式的体现形式有所变化．事实上：当把正整数 n 改成实数 α后，将有以下几种情况出现：(1)当 α 是实数，并且满足 α>1 或者 α<0 时，有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)．(2)当 α 是实数，并且满足 0<α<1 时，有(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)．利用数学归纳法证明不等式[例 1] 求证：＋＋＋…＋>1(n≥2，n∈N＋)．[思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要注意 n 的取值范围，因为n≥2，n∈N＋，因此应验证 n0＝2 时不等式成立．[精解详析] (1)当 n＝2 时，左边＝＋＋＝>1.∴n＝2 时不等式成立．(2)假设 n＝k(k≥2，且 k∈N)时，不等式成立，即＋＋＋…＋>1，那么 n＝k＋1 时，＋＋…＋＋＝＋＋…＋＋2211···12kkkk2        项＋ ＝＋＋…＋＋－>1＋－＝1＋， k≥2，∴2≥.∴k2－k－1＝2－≥1>0.∴>0.∴＋＋…＋>1.∴当 n＝k＋1 时，不等式也成立．由(1)、(2)可知，对一切的 n≥2，且 n∈N＋，此不等式都成立．利用数学归纳法证明不等式的关键是由 n＝k 到 n＝k＋1 的变形，为满足题目的要求，往往要采用“放缩”等手段，例如在本题中采用了“>，…，>”的放缩变形．11．证明不等式：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2，不等式成立．(2)假设当 n＝k(k≥1)时，命题成立，即1＋＋＋…＋<2. 当 n＝k＋1 时，左边＝1＋＋＋…＋＋<2 ＋＝，现在只需证明<2，即证：2<2k＋1，两边平方，整理：0<1，显然成立．∴<2 成立．即 1＋＋＋…＋＋<2 成立．∴当 n＝k＋1 时，不等式成立．由(1)(2)知，对于任何正整数 n 原不等式都成立.利用数学归纳法比较大小[例 2] 设 Pn＝(1＋x)n，Qn＝1＋nx＋x2，n∈N＋，x∈(－1，＋∞)，试比较 Pn与 Qn的大小，并加以证明．[思路点拨] 本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对 n 取特值，猜想 Pn与 Qn的大小关系，然后利用数学归纳法证明．[精解详析] (1)当 n＝1,2 时，Pn＝Qn.(2)当 n≥3 时，(以下再对 x 进行分类)．① 若 x∈(0，＋∞)，显然有 Pn>Qn.② 若 x＝0，则 Pn＝Qn.③ 若 x∈(－1,0)，则 P3－Q3＝x3<0，...