高中数学 第三章 数学归纳法与贝努利不等式 3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式导学案 新人教B版选修4-5-新人教B版高二选修4-5数学学案

3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式1.会用数学归纳法证明与正整数有关的不等式，特别是绝对值不等式、平均值不等式和柯西不等式.2.了解贝努利不等式，学会贝努利不等式的简单应用.3.会用数学归纳法证明贝努利不等式.自学导引1.贝努利不等式：设 x>－1，且 x≠0，n 为大于 1 的自然数，则(1 ＋ x ) n >1 ＋ nx .2.设 α 为有理数，x>－1，如果 0<α<1，则(1＋x)α≤1＋αx；如果 α<0 或者 α>1，则(1＋x)α≥1＋αx，当且仅当 x ＝ 0 时等号成立.基础自测1.若不等式＋＋＋…＋<对于一切 n∈N*恒成立，则自然数 m 的最小值为( )A.8 B.9C.10 D.12解析 显然 n＝1 时，左边最大为<，∴m 的最小值为 8，选 A.答案 A2.关于正整数 n 的不等式 2n>n2成立的条件是( )A.n∈N＋ B.n≥4C.n>4 D.n＝1 或 n>4解析 n＝4，24＝42＝16，n＝1 时，2>1，n＝5，25＝32，52＝25，∴当 n>4 时，2n>n2成立，故选 D.答案 D3.已知 a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝＋＋，则 T 与 0 的关系是________.解析 a＋b＋c＝0，1∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝0，即 2ab＋2bc＋2ac＝－(a2＋b2＋c2)<0， abc>0，上述不等式两边同时除以 2abc，得 T＝＋＋<0.答案 T<0知识点 1 用数学归纳法证明绝对值不等式【例 1】 设 x1，x2，…，xn为实数，证明：|x1＋x2＋…＋xn|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xn|.证明 (1) |x1＋x2|≤|x1|＋|x2|，∴n＝2 时命题成立.(2)设命题 n＝k (k≥2)时成立，即|x1＋x2＋…＋xk|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|，于是，当 n＝k＋1 时，|x1＋x2＋…＋xk＋1|＝|(x1＋x2＋…＋xk)＋xk＋1|≤|x1＋x2＋…＋xk|＋|xk＋1|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|＋|xk＋1|.即当 n＝k＋1 时，命题也成立.由(1)(2)知，对于任意 n∈N*命题都成立.1.证明不等式|sin nθ|≤n|sin θ| (n∈N＋).证明 (1)当 n＝1 时，上式左边＝|sin θ|＝右边，不等式成立.(2)假设当 n＝k (k≥1)时，命题成立，即有|sin kθ|≤k|sin θ|.当 n＝k＋1 时，|sin(k＋1)θ|＝|sin(kθ＋θ)|＝|sin kθcos θ＋cos kθ·sin θ|≤|sin kθcos θ|＋|cos kθ·sin θ|≤|sin kθ|＋|sin θ|≤k|sin θ|＋|sin θ|＝(k＋1)|sin θ|.即当 n＝k＋1 时不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对一切正整数 n 均成立.知识点 2 用数学归...