高中数学 第二章 概率 2.3 随机变量的数字特征 2.3.1 离散型随机变量的数学期望课堂导学案 新人教B版选修2-3-新人教B版高二选修2-3数学学案

2.3.1 离散型随机变量的数学期望课堂导学三点剖析一、离散型随机变量的数学期望【例 1】根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列如下：射手8 环9 环10 环甲0.30.10.6乙0.20.50.3试比较甲、乙两射手射击水平的高低.解析：设甲、乙两射手射击一次所得的环数分别为 X1，X2，则E（X1）=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3,E(X2)=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1, 这就是说射手甲射击所得环数的数学期望比射手乙射击所得环数的数学期望高，从而说明甲的平均射击水平比乙的稍高一点.如果两人进行比赛，甲赢的可能性较大.温馨提示 离散型随机变量的分布列具有的性质 pi≥0,i=1,2,…,n 和niip1=1.二、利用概率知识求随机变量的分布列【例 2】（2006 山东高考，理 20）袋中装着标有数字 1,2,3,4,5 的小球各 2 个.从袋中任取 3 个小球,按 3 个小球上最大数字的 9 倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用 ξ 表示取出的 3 个小球上的最大数字,求:(1)取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率;(2)随机变量 ξ 的概率分布和数学期望;(3)计分介于 20 分到 40 分之间的概率.解：（1）方法一：“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A,则 P(A)=31012121235CCCCC=32 . 方法二：“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A,“一次取出的 3 个小球上有两个数字相同”的事件记为 B，则事件 A 和事件 B 是互斥事件，因为 P(B)=310182215CCCC=31 .所以 P(A)=1-P(B)=131= 32 .(2)由题意,ξ 所有可能的取值为 2,3,4,5.P(ξ=2)=30131022121222CCCCC;1P(ξ=3)=15231022141224CCCCC;P(ξ=4)= 10331022161226CCCCC;P(ξ=5)=15831022181228CCCCC.所以随机变量 ξ 的概率分布为ξ2345P301152103158因此 ξ 的数学期望为Eξ=2× 301 +3×152 +4×103 +5×158 = 313 .(3)“一次取球所得计分介于 20 分到 40 分之间”的事件记为 C，则P（C）＝P（ξ＝3 或 ξ=4)=P(ξ＝3）＋P（ξ=4)=3013103152.温馨提示 求随机变量的分布列，首先弄清随机变量所有可能的取值，进而利用所学概率知识，求取每个值的概率，并列出表格即得分布列.三、找到随机变量的所有可能值并求每种取值的概率【例 3】 设一汽车在前进途中要经过 4 个路口，汽车在每个路口遇到绿灯（允许通行）的概率为 43 ,遇到红灯（禁止通行）的概率为 41 .假定汽...