高中数学 第二章 平面向量 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.4 平面向量共线的坐标表示知识巧解学案 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学学案VIP专享

2.3.4 平面向量共线的坐标表示疱工巧解牛知识•巧学一、用坐标表示两个共线向量 向量 a 与非零向量 b 共线，当且仅当存在一个实数 λ，使得 a=λb.这样可由向量相等，构造出向量坐标相等的关系式. 设 a=(x1，y1)，b=(x2，y2)(x2，y2不同时为零). 根据实数与向量的积的坐标可得 λb=(λx2，λy2). 因为 a=λb，即(x1，y1)=(λx2，λy2)， 则必有消去 λ 后，得 x1y2-x2y1=0. 这就是说，当且仅当 x1y2-x2y1=0 时，向量 b 与 a(a≠0)共线. 若 x2、y2都不为零时，则可化为.即若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行，也可依此判断 a 与 b 共线. 由此可知，设 a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，若 a∥b，则 x1y2-x2y1=0；反之，若 x1y2-x2y1=0，则 a∥b.该条件成立，是在假设 b≠0 的情况下推出的，事实上，由于我们规定零向量与任何向量平行，所以可去掉 b≠0 这一限制条件.学法一得 向量共线有两种刻画形式：(1)b∥a(a≠0)b=λa，λ 是唯一确定的实数；(2)b∥a(a≠0)x1y2-x2y1=0.典题•热题知识点一 利用坐标解决向量共线例 1 判断下列向量是否平行：(1)a=(1，3)，b=(2,4)；(2)a=(1,2)，b=(,1).解：(1) 1×4-3×2=-2≠0,∴a 与 b 不平行.(2) 1×1-2×=0,∴a∥b.巧解提示:(1) ≠,a 与 b 不平行；(2) ,∴a∥b.本方法适合于作分母的向量坐标不是零的情况.知识点二 利用两个向量共线求未知数例 2 已知向量 a=(1，1)，b=(4，x)，μ=a+2b，v=2a+b 且 μ∥v，求 x.思路分析：由于平面向量可用坐标表示，所以有关向量的加、减及实数与向量的积都可先用坐标表示出来，再转化为坐标运算去求值.解：μ=(1，1)+2(4，x)=(1，1)+(8，2x)=(9，1+2x)，v=2(1，1)+(4，x)=(2，2)+(4，x)=(6，2+x). μ∥v，∴9(2+x)-6(1+2x)=0.解得 x=4.例 3 求与向量 a=(3，4)共线的单位向量.解：设与 a 共线的单位向量为 e=(x，y)，则 x2+y2=1. ①又 e∥a，所以 3y-4x=0. ②解由①②组成的方程组得或即 e=()或().巧解提示: a=(3，4)，∴|a|=.∴与 a 共线的单位向量 e=a，或 e=a，即 e=()或().方法归纳 利用两个向量共线的条件去布列方程，求未知数的值.由 x1y2-x2y1=0 可解决一个未知数的值；若由可解决两个未知数的值.例 4 平面内给定三个向量 a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1).(1)求 3a+b-2c；(2)求满足 a=mb+nc 的实数 m、n；(3)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数 k；(4)设 d=(x，y)满足(d-c)∥(a+b...