2.3.1 向量数量积的物理背景与定义课堂探究探究一 与数量积有关命题的判断两向量方向相同时，夹角为 0(或 0°)；而反向时，夹角为 π(或 180°)；两向量垂直时，夹角为 (或 90°)，因此当两向量共线时，夹角为 0 或 π，反过来，若两向量的夹角为 0 或 π，则两向量共线． 【例 1】 已知 a，b，c 是三个非零向量，则下列命题中正确命题的个数为( )①|a·b|＝|a|·|b|⇔a∥b；②a，b 反向⇔a·b＝－|a|·|b|；③a⊥b⇔|a＋b|＝|a－b|；④|a|＝|b|⇔|a·c|＝|b·c|．A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个解析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则．①中因为 a·b＝|a|·|b|·cos θ，所以由|a·b|＝|a|·|b|及 a，b 为非零向量可得|cos θ|＝1，所以 θ＝0 或 π，所以 a∥b，且以上各步均可逆，故命题①是真命题；②中若 a，b 反向，则 a，b 的夹角为 π，所以 a·b＝|a|·|b|cos π＝－|a|·|b|，且以上各步均可逆，故命题②是真命题；③中当 a⊥b 时，将向量a，b 的起点确定在同一点，以向量 a，b 为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有|a＋b|＝|a－b|．反过来，若|a＋b|＝|a－b|，则以 a，b为邻边的四边形为矩形，所以有 a⊥b，因此命题③是真命题；④中当|a|＝|b|但 a 与 c 的夹角和 b 与 c 的夹角不等时，就有|a·c|≠|b·c|，反过来由|a·c|＝|b·c|也推不出|a|＝|b|．故命题④是假命题．答案：C探究二 求向量的正射影或数量积向量的数量积和正射影都是一个实数，它可正、可负，也可为零，其符号取决于两向量之间的夹角．因此在正确理解正射影及数量积定义的同时，找准两个向量之间的夹角是关键，确定两个向量的夹角时，一定要注意“共起点”这一前提条件．【例 2】 如图所示，在▱ABCD 中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：(1)·；(2)·；(3)·；(4)在方向上的正射影．解：(1)因为∥，且方向相同，所以与的夹角是 0°，所以·＝||||cos 0°＝3×3×1＝9．(2)因为∥，且方向相反， 所以与的夹角是 180°，所以·＝||||cos 180°＝4×4×(－1)＝－16．(3)因为与的夹角为 60°，所以与的夹角为 120°，所以·＝||||cos 120°＝4×3×＝－6．(4)因为与的夹角为 60°，而与方向相反，所以与的夹角为120°，所以在方向上的正射影为||cos 120°＝4×＝－2．反思 两向量...
