4.2 用数学归纳法证明不等式举例预习案一、预习目标及范围1．会用数学归纳法证明简单的不等式．2．会用数学归纳法证明贝努利不等式，了解贝努利不等式的应用条件．二、预习要点教材整理 用数学归纳法证明不等式1．贝努利(Bernoulli)不等式如果 x 是实数，且 x>－1，x≠0，n 为大于 1 的自然数，那么有(1＋x)n> .2．在运用数学归纳法证 明不等式时，由 n＝k 成立，推导 n＝k＋1 成立时，常常要与其他方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法等结合进行．三、预习检测1.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1 对于 n≥n0的正整数 n 都成立”时，第一步证明中的起始值 n0应取( )A．2 B．3 C．5 D．62．用数学归纳法证明 1＋＋＋…＋1)时，第一步证明不等式________成立．3．试证明：1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．探究案一、合作探究题型一、数学归纳法证明不等式例 1 已知 Sn＝1＋＋＋…＋(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋(n≥2，n∈N＋).【精彩点拨】 先求 Sn 再证明比较困难，可运用数学归纳法直接证明，注意 Sn表示前 n 项的和(n>1)，首先验证 n＝2；然后证明归纳递推．[再练一题]1 ． 若 在 本 例 中 ， 条 件 变 为 “ 设 f(n) ＝ 1 ＋ ＋ ＋ … ＋ (n∈N ＋) ， 由 f(1) ＝ 1> ， f(3)>1，f(7)>，f(15)>2，…” .试问：f(2n－1)与大小关系如何？试猜想并加以证明．例 2 证明：2n＋2>n2(n∈N＋)．【精彩点拨】 ⇒⇒[再练一题]2．用数学归纳法证明：对一切大于 1 的自然数，不等式…＞均成立．题型二、不等式中的探索、猜想、证明例 3 若不等式＋＋＋…＋>对一切正整数 n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证明你的结论．【精彩点拨】 先通过 n 取值 计算，求出 a 的最大值，再用数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便．[再练一题]3．设 an＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，是否存在 n 的整式 g(n)，使得等式 a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)对大于 1的一切正整数 n 都成立？证明你的结论．二、随堂检测1．数学归纳法适用于证明的命题的类型是( )A．已知⇒结论B．结论⇒已知C．直接证明比较困难D．与正整数有关2．用数学归纳法证明不等式 1＋＋＋…＋＜2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式( )A．1＋＜2－ B．1＋＋＜2－C．1＋＜2－ D.1＋＋＜2－3．用数学归纳法证不等式 1＋＋＋…＋＞ 成立，起始值至少取( )A...
