高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式课堂导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

2 用数学归纳法证明不等式课堂导学三点剖析一、利用数学归纳法证明不等式的技巧（一）【例 1】 对于 n∈N,证明1312111nnn>1

证明：当 n=1 时，左边=1213 >1=右边；设 n=k 时，有1312111kkk>1;当 n=k+1 时，左边1313121kkk2111)431331231(kkkkk3324312311)11431331231(131kkkkkkkk)43)(33)(23(21kkk>1=右边

所以对一切自然数 n 不等式均成立

温馨提示解此题的关键是凑出归纳假设的形式，这里要把握不等式左边式子的结构特征，明确从 n=k到 n=k+1 增减的项

各个击破类题演练 1对于 n∈N，试比较 2n与 n2的大小

解析：先验算 n=1 时，2n>n2，n=2 和 n=4 时，2n=n2,n=3 时,2nn2,猜测对 n≥5 有 2n>n2

用数学归纳法证明如下：（1）当 n=5 时，已证

（2）设当 n=k(k≥5)时，2k>k2且 k2>2k+1

当 n=k+1 时，2k+1=2·2k>2k2>k2+2k+1=(k+1)2,即 n=k+1 时成立

由（1）、（2），知猜测正确

变式提升 1求证：1+21213121nn

证明：用数学归纳法

当 n=1 时，显然不等式成立

根据归纳假设，当 n=k 时，命题成立，即1+21213121kk

①要证明 n=k+1 时，命题也成立，即1+211211212112131211kkkkk

②1要用①来证明②,事实上，对不等式①两边加上（121121211 kkk）,就凑好了不等式②的左边

接下来，只需证121121211 