高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式课堂导学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

4.2 用数学归纳法证明不等式课堂导学三点剖析一、利用数学归纳法证明不等式的技巧（一）【例 1】 对于 n∈N,证明1312111nnn>1.证明：当 n=1 时，左边=1213 >1=右边；设 n=k 时，有1312111kkk>1;当 n=k+1 时，左边1313121kkk2111)431331231(kkkkk3324312311)11431331231(131kkkkkkkk)43)(33)(23(21kkk>1=右边.所以对一切自然数 n 不等式均成立.温馨提示解此题的关键是凑出归纳假设的形式，这里要把握不等式左边式子的结构特征，明确从 n=k到 n=k+1 增减的项.各个击破类题演练 1对于 n∈N，试比较 2n与 n2的大小.解析：先验算 n=1 时，2n>n2，n=2 和 n=4 时，2n=n2,n=3 时,2nn2,猜测对 n≥5 有 2n>n2.用数学归纳法证明如下：（1）当 n=5 时，已证.（2）设当 n=k(k≥5)时，2k>k2且 k2>2k+1.当 n=k+1 时，2k+1=2·2k>2k2>k2+2k+1=(k+1)2,即 n=k+1 时成立.由（1）、（2），知猜测正确.变式提升 1求证：1+21213121nn.证明：用数学归纳法.当 n=1 时，显然不等式成立.根据归纳假设，当 n=k 时，命题成立，即1+21213121kk.①要证明 n=k+1 时，命题也成立，即1+211211212112131211kkkkk.②1要用①来证明②,事实上，对不等式①两边加上（121121211 kkk）,就凑好了不等式②的左边.接下来，只需证121121211 kkk≥ 21 .③③ 式左边共有 2k项，且1211 k最小，故212212212112121111kkkkkkk,这就证明了③式成立.综上，知不等式成立.二、利用数学归纳法证明不等式的技巧（二）【例 2】 已知 n 是大于 1 的自然数，求证：(1+ 31 )(1+ 51 )(1+ 71 )…(1+121n)>1221n.证明：假设 n=k(k≥2)时，原不等式成立，即（1+ 31 ）(1+ 51 )(1+ 71 )…(1+121k)>1221k.则当 n=k+1 时，左边=（1+ 31 ）（1+ 51 ）（1+ 71 ）…（1+121k）·(121k)> 1221k·(1+121k)=21 (12112kk).现在关键证21 (12112kk)>1)1(221k,直接证较繁,下面用分析法证之.欲证21 （12112kk）>1)1(221k,即证3212112kkk,只需证 2k+1+121k+2>2k+3,即121k>0.这显然是成立的，故当 n=k+1 时，原不等...