4.2 用数学归纳法证明不等式预习导航1．通过教材掌握几个有关正整数 n 的结论．2．会用数学归纳法证明不等式． 1．本节的有关结论(1)n2＜2n(n∈N＋，n ≥5 )．(2)|sin nθ|≤n |sin _θ | (n∈N＋)．(3)贝努利不等式：如果 x 是实数，且 x＞－1，x≠0，n 为大于 1 的自然数，那么有(1 ＋ x ) n ＞ 1 ＋ nx .贝努利不等式更一般的形式：当 α 是实数，并且满足 α＞1 或者 α＜0 时，有(1 ＋ x ) α ≥1 ＋ αx ( x ＞－ 1) ，当 α 是实数，并且满足 0＜α＜1 时，有(1 ＋ x ) α ≤1 ＋ αx ( x ＞－ 1) ． (4)如果 n(n 为正整数)个正数 a1，a2，…an的乘积 a1a2…an＝1，那么它们的和 a1＋a2＋…＋an≥n.【做一做 1】用数学归纳法证明 C＋C＋…＋C＞12nn (n≥n0且 n∈N＋)，则 n 的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．4解析：当 n＝1 时，左边＝C＝1，右边＝10＝1,1＞1 不成立；当 n＝2 时，左边＝C＋C＝2＋1＝3，右边＝122 ＝，3＞，成立．当 n＝3 时，左边＝C＋C＋C＝3＋3＋1＝7，右边＝31＝3,7＞3，成立．答案：B2．用数学归纳法证明不等式使用数学归纳法证明不等式，难点往往出现在由 n＝k 时命题成立推出 n＝k＋1 时命题成立这一步．为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要灵活利用问题的其他条件及相关知识．【做一做 2】用数学归纳法证明式子“1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1)”时，由 n＝k(k＞1)不等式成立，推证 n＝k＋1 时，左边应增加的项数是( )A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋1解析：当 n＝k 时，不等式 1＋＋＋＋…＋＜k 成立；当 n＝k＋1 时，不等式的左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，比较 n＝k 时的不等式左边，可知左边增加了 2k＋1－1－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k (项)．答案：C1
