高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 二 用数学归纳法证明不等式学案 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学学案

二 用数学归纳法证明不等式1．通过教材掌握几个有关正整数 n 的结论．2．会用数学归纳法证明不等式．1．本节的有关结论(1)n2＜2n(n∈N＋，______)．(2)|sin nθ|≤________(n∈N＋)．(3)贝努利不等式：如果 x 是实数，且 x＞－1，x≠0，n 为大于 1 的自然数，那么有____________．贝努利不等式更一般的形式：当 α 是实数，并且满足 α＞1 或者 α＜0 时，有____________________，当 α 是实数，并且满足 0＜α＜1 时，有______________．(4)如果 n(n 为正整数)个正数 a1，a2，…an的乘积 a1a2…an＝1，那么它们的和 a1＋a2＋…＋an≥____.【做一做 1】 用数学归纳法证明 C＋C＋…＋C＞12nn (n≥n0且 n∈N＋)，则 n 的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．42．用数学归纳法证明不等式使用数学归纳法证明不等式，难点往往出现在由 n＝k 时命题成立推出 n＝k＋1 时命题成立这一步．为完成这步证明，不仅要正确使用归纳假设，还要灵活利用问题的其他条件及相关知识．【做一做 2】 用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n(n∈N＋，n＞1)”时，由 n＝k(k＞1)不等式成立，推证 n＝k＋1 时，左边应增加的项数是( )A．2k－1 B．2k－1C．2k D．2k＋1答案：1．(1)n≥5 (2)n|sin θ| (3)(1＋x)n＞1＋nx (1＋x)α≥1＋αx(x＞－1) (1＋x)α≤1＋αx(x＞－1) (4)n【做一做 1】 B 当 n＝1 时，左边＝C＝1，右边＝10＝1,1＞1 不成立；当 n＝2 时，左边＝C＋C＝2＋1＝3，右边＝122＝，3＞，成立．当 n＝3 时，左边＝C＋C＋C＝3＋3＋1＝7，右边＝31＝3,7＞3，成立．【做一做 2】 C 当 n＝k 时，不等式 1＋＋＋＋…＋＜k 成立；当 n＝k＋1 时，不等式的左边＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋，比较 n＝k 和 n＝k＋1 时的不等式左边，则左边增加了 2k＋1－1－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k (项)．11．观察、归纳、猜想、证明的方法剖析：这种方法解决的问题主要是归纳型问题或探索型问题，命题的成立不成立都预先需要归纳与探索，而归纳与探索多数情况下是从特例、特殊情况入手，得到一个结论，但这个结论不一定正确，因为这是靠不完全归纳法得出的，因此，需要给出一定的逻辑证明，所以，通过观察、分析、归纳、猜想，探索一般规律，其关键在于正确的归纳猜想，如果归纳不出正确的结论，那么数学归纳法的证明也就无法进行了．在观察与归纳时，n 的取值不能太少，否则将得出错误的结论．教材例 1 中若只观...