高中数学 第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示学案（含解析）新人教A版必修第二册-新人教A版高一必修第二册数学学案VIP专享

6．3.4 平面向量数乘运算的坐标表示[目标] 1.会实数与向量积的坐标表示；2.记住两个向量共线的坐标表示；3.能够应用向量共线的坐标表示解决相关问题．[重点] 向量共线的坐标表示．[难点] 向量共线的坐标表示的应用． 要点整合夯基础 知识点一 平面向量数乘运算的坐标表示及中点坐标公式[填一填](1)实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标；(2)设向量 a＝(x1，y1)，则 λa＝( λx 1， λy 1)．(3)中点坐标公式：若 P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2的中点 P 的坐标为(x，y)，则[答一答]1．已知 A(－5，－1)，B(3，－2)，则－AB的坐标为( － 4 ， ) ．解析：AB＝(3，－2)－(－5－1)＝(8，－1)，∴－AB＝(－4，)．知识点二 两个向量共线的坐标表示[填一填](1)向量 a，b 共线的坐标表示设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .(2)向量共线的坐标表示的推导① 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则 a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．上式若用坐标表示，可写为 a∥b⇔( x 1， y 1) ＝ λ ( x 2， y 2)，即 a∥b⇔⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .② 设 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)＝0 时，a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .综上①②，向量共线的坐标表示为 a∥b⇔x1y2－ x 2y1＝ 0 .[答一答]2．若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，是否对于任意两向量都成立？还需注明 b≠0 吗？提示：在向量共线定理中，a∥b⇔a＝λb(λ∈R)必需注明 b≠0，而在“本问”中当 b＝0时也成立，故不需注明 b≠0.3．当两个非零向量共线时，通过坐标如何判断它们是同向还是反向？提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向．当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向．例如，向量(1,2)与(－1，－2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向． 典例讲练破题型 类型一 平面向量数乘运算的坐标表示[例 1] 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM＝3CA，CN＝2CB，求 M，N及MN的坐标．[分析] 首先设出 M、N 的坐标，结合已知条件，分别建立关于 M、N 坐标的方程．从而求得 M，N 的坐标以及MN的坐标．[解] 由 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，可得CA＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1,8)，CB＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6,3)，所以CM＝3CA＝3(1,8)＝(3,24)，CN＝2CB＝2(6,3)＝(12,6)．设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则CM＝(x1＋3，y1＋4)＝(3,24)，所以，解得 x1...