高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3 离散型随机变量的均值与方差 2.3.2 离散型随机变量的方差课堂导学案 新人教A版选修2-3-新人教A版高二选修2-3数学学案VIP专享

2.3.2 离散型随机变量的方差课堂导学三点剖析一、随机变量的方差与标准差的求法【例 1】 设 X 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求 EX，DX.X-101P211-2qq2思路分析：依题意，先应按分布列的性质，求出 q 的数值后，再计算出 EX 与 DX.解析：由于离散型随机变量的分布列满足(1)pi≥0,i=1,2,3,…;(2)p1+p2+…+pn+…=1.故112101)21(2122qqqq解得 q=1-22故 X 的分布列为X-101P2112 223 ∴EX=(-1)× 21 +0×(2 -1)+1×(223 )=-2321 +（-2 ）=1-2DX=［-1-（1-2 )］2× 21 +（1-2 ）2×（2 -1）+［1-（1-2 )］2×(223 )=（2 -2）2× 21 +（2 -1）3+2(223 )=2 -1温馨提示解本题时，要防止机械地套用均值与方差的计算公式，即EX=（-1）× 21 +0×(1-2q)+1×q2=q2- 21 ;DX=［-1-(q2- 21 )］2× 21 +(q2- 21 )2×(1-2q)+［1-(q2- 21 )］2×q2 这是由于忽略了随机变量分布列的性质所出现的误解，求离散型随机变量的均值与方差，应明确随机变量的分布列，若分布列中的概率值是待定常数时，应先求出待定常数后，再1求其均值与方差.二、两点分布、二项分布的方差【例 2】 设一次试验的成功率为 p，进行 100 次独立重复试验，求当 p 为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值.思路分析：根据题意，可知本题主要考查服从二项分布的随机变量的标准差公式，所以解本题的关键就是找出几个变量之间的关系.解：设成功次数为随机变量 X，由题意可知 X—B（100，p），那么 σX=)1(100ppDX，因为 DX=100p(1-p)=100p-100p2 （0≤p≤1）把上式看作一个以 p 为自变量的一元二次函数，易知当 p= 21 时，DX 有最大值 25.所以DX的最大值为 5，即当 p= 21 时，成功次数的标准差的最大值为 5.温馨提示 要求成功次数标准差的最大值，就需先建立标准差关于变量 p 的函数关系式，另外要注意利用分布列的性质求出定义域 0≤p≤1.三、方差的应用【例 3】 海关大楼顶端镶有 A、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为 X1、X2（单位：s），其分布列如下：X1-2-1012P0.050.050.80.050.05X2-2-1012P0.10.20.40.20.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.解： EX1=0,EX2=0∴EX1=EX2 DX1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5DX2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2...