微专题6 平面向量的基本运算及应用VIP专享

微专题 6 平面向量的基本运算及应用高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积、夹角及模的运算，难度中低档； 2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的线性运算及其几何意义，难度中低档.【真题体验】1.(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC 中，点 D 在边 AB 上，BD＝2DA.记CA＝m，CD＝n，则CB＝( )A.3m－2nB.－2m＋3nC.3m＋2nD.2m＋3n答案 B解析 因为 BD＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3(CD－CA)＝－2CA＋3CD＝－2m＋3n.故选 B.2.(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量 a＝(0，1)，b＝(2，x)，若 b⊥(b－4a)，则 x＝( )A.－2B.－1C.1D.2答案 D解析 法一 因为 b⊥(b－4a)，所以 b·(b－4a)＝0，即 b2＝4a·b.因为 a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以 b2＝4＋x2，a·b＝x，得 4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得 x＝2，故选 D.法二 因为 a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以 b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4).因为 b⊥(b－4a)，所以 b·(b－4a)＝0，所以 2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0，解得 x＝2，故选 D.3.(2023·全国甲卷)已知向量 a＝(3，1)，b＝(2，2)，则 cos〈a＋b，a－b〉＝( )A.B.C.D.答案 B解析 由题意知 a＋b＝(5，3)，a－b＝(1，－1)，所以 cos〈a＋b，a－b〉＝＝＝＝，故选 B.4.(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量 a，b 满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝( )A.B.C.D.1答案 B解析 由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以 b2＝2a·b.将|a＋2b|＝2 的两边同时平方，得 a2＋4a·b＋4b2＝4，即 1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，解得|b|2＝，所以|b|＝，故选 B.【热点突破】热点一 平面向量的线性运算例 1 (1)(2024·西安模拟)已知点 P 是△ABC 的重心，则AP＝( )A.AP＝AB＋ACB.AP＝AB＋ACC.AP＝AC＋BCD.AP＝AC－BC(2)(2024·保定模拟)如图所示，△ABC 内有一点 G 满足GA＋GB＋GC＝0，过点 G作一直线分别交 AB，AC 于点 D，E.若AD＝xAB，AE＝yAC(xy≠0)，则＋＝( )A.4B.3C.2D.1答案 (1)D (2)B解析 (1)延长 AP 与 BC 交于 D 点，由重心的性质，知 D 为 BC 的中点，且AP＝AD＝×(AB＋AC)＝(2AB＋BC)＝AB＋BC＝(AC＋CB)＋BC＝AC－BC，由此可知 A，B，C 错误，D 正确，故选 D.(2)因为GA＋GB＋GC＝0，所以 G 为△ABC 的重心，又因为 G，D，E 三点共线，所以AG＝(AB＋AC)＝tAD＋(1－t)AE＝txAB＋(1－t)yAC，所以 tx＝...