微专题7 与平面向量有关的最值、范围问题VIP专享

微专题 7 与平面向量有关的最值、范围问题高考定位 1.与平面向量有关的最值问题在高考中经常出现，多以小题形式考查，难度中档； 2.主要考查向量模、夹角、数量积、系数的最值或范围.【真题体验】1.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形 ABCD 中，AB＝1，AD＝2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上.若AP＝λAB＋μAD，则 λ＋μ 的最大值为( )A.3B.2C.D.2答案 A解析 如图所示，以 A 为原点建立平面直角坐标系，则 B(1，0)，D(0，2)，C(1，2)，直线 BD 的方程为 y＝－2x＋2，⊙C 方程为(x－1)2＋(y－2)2＝r2，又AB＝(1，0)，AD＝(0，2)，则AP＝λAB＋μAD＝(λ，2μ)，又圆与直线 BD 相切，则半径 r＝.因为 P 点坐标可表示为 x＝1＋rcos θ＝λ，y＝2＋rsin θ＝2μ，则 λ＋μ＝2＋sin θ＋rcos θ＝2＋sin(θ＋φ)，当 sin(θ＋φ)＝1 时，有最大值，为 2＋×＝3.2.(2023·全国乙卷)已知⊙O 的半径为 1，直线 PA 与⊙O 相切于点 A，直线 PB 与⊙O 交于 B，C 两点，D 为 BC 的中点，若|PO|＝，则PA·PD的最大值为( )A.B.C.1＋D.2＋答案 A解析 连接 OA，由题可知|OA|＝1，OA⊥PA，因为|OP|＝，所以由勾股定理可得|PA|＝1，则∠POA＝.设直线 OP 绕点 P 按逆时针旋转 θ 后与直线 PD 重合，则－＜θ＜，∠APD＝＋θ，且|PD|＝cos θ.所以PA·PD＝|PA||PD|cos(＋θ)＝cos θ·cos(＋θ)＝cos θ(cos θ－sin θ)＝cos2θ－sin θcos θ＝＋cos 2θ－sin 2θ＝＋cos(2θ＋)≤＋，故选 A.3.(2024·天津卷)在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E 为线段 CD 的三等分点，CE＝DE，BE＝λBA＋μBC，则 λ＋μ＝________；F 为线段 BE 上的动点，G 为AF 的中点，则AF·DG的最小值为________.答案 －解析 以点 A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，E，所以BE＝，BA＝(－1，0)，BC＝(0，1)，因为BE＝λBA＋μBC，所以＝λ(－1，0)＋μ(0，1)，所以 λ＝，μ＝1，所以 λ＋μ＝.由 B(1，0)，E 可得直线 BE 的方程为y＝－3(x－1)，设 F(a，3－3a)，则 G，所以AF＝(a，3－3a)，DG＝，所以AF·DG＝a·＋(3－3a)·＝5a2－6a＋＝5－，所以当 a＝时，AF·DG取得最小值为－.4.(2022·浙江卷)设点 P 在单位圆的内接正八边形 A1A2…A8的边 A1A2上，则PA＋PA＋…＋PA的取值范围是________.答案 [12＋2，16]解析 以圆心为原...