专题限时集训(九)[三角恒等变换与解三角形](时间：5分钟＋40分钟)基础演练夯知识1.在钝角三角形ABC中，AB＝，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为()A.B.C.D.2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，A＝45°，B＝105°，则c＝()A.B.1C.D.3.函数f(x)＝sin2x－sin的最小值为()A．0B．－1C．－D．－24．已知α，β都是锐角，且cosα＝，sin(α＋β)＝，则tanβ为()A．2B．－C．－或2D.或－25．在△ABC中，已知2acosB＝c，sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋，则△ABC为()A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形D.钝角三角形提升训练强能力6.已知sin2α＝，则cos2＝()A.B.－C.D.－7．已知△ABC的外接圆O的半径为1，且OA·OB＝－，C＝.从圆O内随机取一点M，若点M在△ABC内的概率恰为，则△ABC为()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形8．已知A，B，C是△ABC的三个内角，其对边分别为a，b，c.若(sinA＋sinB)(sinA－sinB)＝sinC(sinA－sinC)，则B＝()A.B.C.D.9.在△ABC中，若AB·AC＝7，＝6，则△ABC的面积的最大值为()A．24B．16C．12D．810．已知△ABC的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若aGA＋bGB＋cGC＝0，则A等于()A.B.C.D.11.已知α∈，cos(π－α)＝－，则tan2α＝______.12．在△ABC中，C＝60°，AB＝，AB边上的高为，则AC＋BC＝________．13．已知∠MON＝60°，由此角内一点A向角的两边引垂线，垂足分别为B，C，AB＝a，AC＝b，若a＋b＝2，则△ABC外接圆的直径的最小值是________．14．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知平面向量m＝(sinC，cosC)，n＝(cosB，sinB)，且m·n＝sin2A.(1)求sinA的值；(2)若a＝1，cosB＋cosC＝1，求边c的值．15.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos＝.(1)若a＝3，b＝，求c的值；(2)若f(A)＝sinA(cosA－sinA)，求f(A)的取值范围．16.如图91所示，已知OPQ是半径为，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点(不与P，Q重合)，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝x，矩形ABCD的面积为f(x)．(1)求函数f(x)的解析式，并写出其定义域；(2)求函数y＝f(x)＋f的最大值及相应的x值．图91专题限时集训(九)【基础演练】1．C[解析]由＝，即＝，得sinC＝，所以C＝120°(C＝60°舍去)．又B＝30°，所以A＝30°，所以S△ABC＝AB·ACsinA＝.2．B[解析]易知C＝30°.由正弦定理得＝，所以c＝1.3．B[解析]f(x)＝sin2x－sin2x－cos2x＝sin2x－cos2x＝sin，易知f(x)的最小值为－1.4．A[解析]由cosα＝，且α是锐角知sinα＝＞＝sin(α＋β)，又β是锐角，因此α＋β是钝角，从而cos(α＋β)＝－.于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝，所以sinβ＝，tanβ＝2.5．B[解析]由2acosB＝c得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)＝0，因为－180°＜A－B＜180°，因此A＝B.又由sinAsinB(2－cosC)＝sin2＋得sinAsinB(2－cosC)＝＋＝，从而sinAsinB＝sin2A＝，A＝B＝45°，为等腰直角三角形．【提升训练】6．C[解析]cos2＝＝＝＝.7．B[解析]由题意得＝，所以CA·CB＝3.在△AOB中，由OA＝OB＝1，OA·OB＝－，得∠AOB＝，所以AB＝.由余弦定理得AB2＝CA2＋CB2－2CA·CBcos，即CA2＋CB2＝6，结合CA·CB＝3，得CA＝CB＝，所以△ABC为等边三角形．8．A[解析]依题意得sin2A－sin2B＝sinAsinC－sin2C，∴由正弦定理可得a2－b2＝ac－c2，∴a2＋c2－b2＝ac，∴cosB＝＝，∴B＝.9．C[解析]设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由已知条件可知bccosA＝7，a＝6.根据余弦定理可得36＝b2＋c2－14，所以b2＋c2＝50，所以bc≤25.S△ABC＝bcsinA＝bc＝bc＝≤＝12，当且仅当b＝c＝5时等号成立，故所求最大值为12.10．A[解析]由于G为△ABC的重心，所以GA＋GB＋GC＝0，即GC＝－GA－GB，所以GA＋GB＝0，所以a＝b＝c，所以cosA＝＝＝.又0＜A＜π，所以A＝.11．－[解析]因为α∈，cos(π－α)＝－，所以sinα＝－，tanα＝－，所以tan2α＝＝－.12．[解析]△ABC的面积S＝××＝，又S＝AC·BC·sinC＝AC·BC，所以AC·BC＝.根据余弦定理有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝(AC＋BC)2－3AC·BC，所以(AC＋BC)2＝3＋3×＝11...
