专题限时集训(十)数列1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.[解](1)设等比数列{an}首项为a1，公比为q(q>1)．由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8.解得q＝(舍去)，q＝2.由题设得a1＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n.(2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m<2n＋1时，bm＝n.所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.2．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式．[解](1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．(2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1，所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－，bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋.3．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)设Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.[解](1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.4．(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5＝，求λ.[解](1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝.(2)由(1)得Sn＝1－.由S5＝得1－＝，即＝.解得λ＝－1.5．(2015·全国卷Ⅰ)Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，a＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和．[解](1)由a＋2an＝4Sn＋3，①可知a＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.②②－①，得a－a＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝a－a＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由an>0，得an＋1－an＝2.又a＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝＝＝.设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝.1．(2020·四川五校联考)设数列{an}是等差数列，数列{bn}的前n项和Sn满足2Sn＝3(bn－1)且a1＝b1，a4＝b2.(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；(2)求{an·bn}的前n项和Tn.[解](1)由2Sn＝3(bn－1)知，当n＝1时，得b1＝3，当n≥2时，2Sn－1＝3(bn－1－1)，2bn＝2Sn－2Sn－1＝3(bn－1)－3(bn－1－1)，即bn＝3bn－1，所以{bn}是首项为3，公比为3的等比数列，所以数列{bn}的通项公式为bn＝3n.又数列{an}是等差数列，且a1＝b1＝3，a4＝b2＝9，所以公差d＝＝2，可得数列{an}的通项公式为an＝2n＋1.(2)Tn＝3×31＋5×32＋7×33＋9×34＋…＋(2n＋1)×3n，①3Tn＝3×32＋5×33＋7×34＋9×35＋…＋(2n＋1)×3n＋1，②①－②得，－2Tn＝3×31＋2(32＋33＋34＋…＋3n)－(2n＋1)×3n＋1＝3×31＋2×－(2n＋1)×3n＋1，整理得Tn＝n×3n＋1.2．(2020·成都模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a2＝15，S5＝65.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn＝Sn－10，求数列{|bn|}的前n项和Rn.[解](1)设等差数列{an}的公差为d，则由已知得：∴故an＝－2n＋19.(2)由(1)得：Sn＝－n2＋18n，∴Tn＝－n2＋18n－10，bn＝易知，当1≤n≤9时，bn＞0，当n≥10时，bn＜0.∴(ⅰ)当1≤n≤9时，Rn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝b1＋b2＋…＋bn＝－n2＋18n－10；(ⅱ)当n≥10时，Rn＝|b1|＋|...
