专题限时集训(十四)导数1．(2020·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．[解](1)当a＝1时，f(x)＝ex－x－2，则f′(x)＝ex－1.当x<0时，f′(x)<0；当x>0时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)f′(x)＝ex－a.当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，故f(x)至多存在1个零点，不合题意．当a>0时，由f′(x)＝0可得x＝lna．当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．故当x＝lna时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)＝－a(1＋lna)．(ⅰ)若0
，则f(lna)<0.由于f(－2)＝e－2>0，所以f(x)在(－∞，lna)存在唯一零点．由(1)知，当x>2时，ex－x－2>0，所以当x>4且x>2ln(2a)时，f(x)＝e·e－a(x＋2)>eln(2a)·－a(x＋2)＝2a>0.故f(x)在(lna，＋∞)存在唯一零点．从而f(x)在(－∞，＋∞)有两个零点．综上，a的取值范围是，＋∞.2．(2020·新高考全国卷Ⅰ)已知函数ƒ(x)＝aex－1－lnx＋lna.(1)当a＝e时，求曲线y＝ƒ(x)在点(1，ƒ(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若ƒ(x)≥1，求a的取值范围．[解]f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－1－.(1)当a＝e时，f(x)＝ex－lnx＋1，f(1)＝e＋1，f′(1)＝e－1，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，即y＝(e－1)x＋2.直线y＝(e－1)x＋2在x轴，y轴上的截距分别为，2.因此所求三角形的面积为××2＝.(2)当00.所以当x＝1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)＝1，从而f(x)≥1.当a>1时，f(x)＝aex－1－lnx＋lna≥ex－1－lnx≥1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．3.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝－x＋alnx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：＜a－2.[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－－1＋＝－.(ⅰ)若a≤2，则f′(x)≤0，当且仅当a＝2，x＝1时f′(x)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)单调递减．(ⅱ)若a＞2，令f′(x)＝0，得x＝或x＝.当x∈∪时，f′(x)＜0；当x∈时，f′(x)＞0.所以f(x)在，单调递减，在单调递增．(2)证明：由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a＞2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1，不妨设x1＜x2，则x2＞1.由于＝－－1＋a＝－2＋a＝－2＋a，所以＜a－2等价于－x2＋2lnx2＜0.设函数g(x)＝－x＋2lnx，由(1)知，g(x)在(0，＋∞)单调递减，又g(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，g(x)＜0.所以－x2＋2lnx2＜0，即＜a－2.4．(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝sin2xsin2x.(1)讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；(2)证明：|f(x)|≤；(3)设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.[解](1)f′(x)＝cosx(sinxsin2x)＋sinx(sinxsin2x)′＝2sinxcosxsin2x＋2sin2xcos2x＝2sinxsin3x.当x∈∪时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.所以f(x)在区间，单调递增，在区间单调递减．(2)证明：因为f(0)＝f(π)＝0，由(1)知，f(x)在区间[0，π]的最大值为f＝，最小值为f＝－.而f(x)是周期为π的周期函数，故|f(x)|≤.(3)证明：由于(sin2xsin22x…sin22nx)＝|sin3xsin32x…sin32nx|＝|sinx||sin2xsin32x…sin32n－1xsin2nx||sin22nx|＝|sinx||f(x)f(2x)…f(2n－1x)||sin22nx|≤|f(x)f(2x)…f(2n－1x)|，所以sin2xsin22x…sin22nx≤＝.1．(2020·陕西百校联盟第一次模拟)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝2－(x＞0)．(1)试判断f(x)与g(x)的大小关系；(2)试判断曲线y＝f(x)和y＝g(x)是否存在公切线？若存在，求出公切线的方程；若不存在，说明理由．[解](1)设F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝－(x＞0)．由F′(x)＝0，得x＝3，当0＜x＜3时，F′(x)＜0，当x＞3时，F′(x)＞0，故F(x)在区间(0，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，所以F(x)的最小值F(3)＝ln3－1＞0，所以F(x)...
