考点规范练14导数与函数的单调性、极值、最值一、基础巩固1.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)2.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n=()A.0B.2C.-4D.-23.若函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则下面判断正确的是()A.在区间(-2,1)内,f(x)是增函数B.在区间(1,3)内,f(x)是减函数C.在区间(4,5)内,f(x)是增函数D.当x=2时,f(x)取到极小值4.若f(x)=x2-alnx在区间(1,+∞)内单调递增,则实数a的取值范围为()A.(-∞,1)B.(-∞,1]C.(-∞,2)D.(-∞,2]5.若ex≥k+x在R上恒成立,则实数k的取值范围为()A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(-∞,-1]D.[-1,+∞)6.若函数f(x)=x(x-a)2在x=2处有极小值,则a=.7.若函数g(x)=lnx+ax2+bx,且g(x)的图象在点(1,g(1))处的切线与x轴平行.(1)确定a与b的关系;(2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性.8.(2018全国Ⅲ,文21)已知函数f(x)=ax2+x-1ex.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.9.已知函数f(x)=ax2+bx+cex(a>0)的导函数y=f'(x)的两个零点为-3和0.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)的极大值及f(x)在区间[-5,+∞)内的最大值.10.设函数f(x)=3x2+axex(a∈R).(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在区间[3,+∞)内为减函数,求a的取值范围.二、能力提升11.已知定义在R上的奇函数f(x)可导,设其导函数为f'(x),当x∈(-∞,0)时,恒有xf'(x)
F(2x-1)的实数x的取值范围是()A.(-2,1)B.(-1,12)C.(12,2)D.(-1,2)12.已知函数f(x)=x3-2x+ex-1ex,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.13.设函数f(x)=x2-1lnx.(1)求证:f(x)在区间(0,1)和(1,+∞)内都是增函数;(2)若在函数f(x)的定义域内,不等式af(x)>x恒成立,求a的取值范围.14.已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2·[f'(x)+m2]在区间(t,3)内总不是单调函数,求m的取值范围.三、高考预测15.(2018全国Ⅰ,文21)已知函数f(x)=aex-lnx-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a≥1e时,f(x)≥0.考点规范练14导数与函数的单调性、极值、最值1.D解析函数f(x)=(x-3)ex的导数为f'(x)=[(x-3)ex]'=ex+(x-3)ex=(x-2)ex.由函数导数与函数单调性的关系,得当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,此时由不等式f'(x)=(x-2)ex>0,解得x>2.2.B解析因为函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,所以m,n为f'(x)=3x2-6x+1=0的两根.由根与系数的关系可知m+n=-(-6)3=2.3.C解析由题图可知f'(x)>0在区间(4,5)内恒成立,故f(x)在区间(4,5)内是增函数.4.D解析由f(x)=x2-alnx,得f'(x)=2x-ax.因为f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,所以2x-ax≥0在区间(1,+∞)内恒成立,即a≤2x2在区间(1,+∞)内恒成立.当x∈(1,+∞)时,2x2>2,故a≤2,选D.5.A解析由ex≥k+x,得k≤ex-x.令f(x)=ex-x,则f'(x)=ex-1.当f'(x)<0时,解得x<0;当f'(x)>0时,解得x>0.所以f(x)在区间(-∞,0)内是减函数,在区间(0,+∞)内是增函数.所以f(x)min=f(0)=1.所以实数k的取值范围为(-∞,1].故选A.6.2解析由f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,可知f'(x)=3x2-4ax+a2.依题意可得f'(2)=3×22-4a×2+a2=0,解得a=2或a=6.当a=6时,f'(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12).由f'(x)=3(x2-8x+12)>0,可得x<2或x>6;由f'(x)=3(x2-8x+12)<0可得20解得01,即函数g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减.当a>0时,令g'(x)=0,得x=1或x=12a,若12a<1,即a>12,则由g'(x)>0解得x>1或01,即00解得x>12a或0
