星期五(综合限时练)2016年____月____日解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1．(本小题满分12分)已知向量m＝(sin，1)，n＝(cos，cos2)．记f(x)＝m·n.(1)若f(a)＝，求cos的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度得到y＝g(x)的图象，若函数y＝g(x)－k在上有零点，求实数k的取值范围．解f(x)＝sincos＋cos2＝sin＋.(1)由已知f(a)＝，得sin＋＝，于是a＝4kπ＋，k∈Z，∴cos＝cos＝1.(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位得到函数g(x)＝sin＋的图象，当x∈时，－≤x－≤π，所以－≤sin≤1，所以0≤sin＋≤，若函数y＝g(x)－k在上有零点，则k∈.2．(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．(1)证明连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)解由AC＝CB＝AB，得AC⊥BC.以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，CB的方向为y轴正方向，CC1的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，CD＝(1，1，0)，CE＝(0，2，1)，CA1＝(2，0，2)．设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的一个法向量，则即可取n＝(1，－1，－1)．同理，设m是平面A1CE的一个法向量，则可取m＝(2，1，－2)．从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.即二面角D－A1C－E的正弦值为.3．(本小题满分12分)在等差数列{an}中，已知公差d＝2，a2是a1与a4的等比中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝a，记Tn＝－b1＋b2－b3＋b4－…＋(－1)nbn，求Tn.解(1)由题意知(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即(a1＋2)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝2.所以数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)由题意知bn＝a＝n(n＋1)．所以Tn＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)nn×(n＋1)．因为bn＋1－bn＝2(n＋1)，可得当n为偶数时，Tn＝(－b1＋b2)＋(－b3＋b4)＋…＋(－bn－1＋bn)＝4＋8＋12＋…＋2n＝＝，当n为奇数时，Tn＝Tn－1＋(－bn)＝－n(n＋1)＝－.所以Tn＝4．(本小题满分12分)某超市计划在春节当天从有抽奖资格的顾客中设一项抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金为30元；三球号码构成等差数列的为二等奖，奖金为60元；三球号码分别为1，6，8为一等奖，奖金为240元；其余情况无奖金．(1)求顾客甲抽奖一次所得奖金ξ的分布列与期望；(2)若顾客乙幸运地先后获得四次抽奖机会，求他得奖次数η的方差是多少？解(1)奖金ξ的所有可能取值为0，30，60，240.顾客抽奖一次，基本事件总数为C＝120，P(ξ＝30)＝＝＝，P(ξ＝60)＝＝＝，P(ξ＝240)＝，P(ξ＝0)＝1－－－＝，∴ξ的分布列为ξ03060240P∴E(ξ)＝0×＋30×＋60×＋240×＝26.(2)顾客乙一次抽奖中奖的概率P＝1－＝.四次抽奖相互独立，所以得奖次数η～B，∴D(η)＝4××＝.5．(本小题满分13分)(2015·全国Ⅱ卷)已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m＞0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；(2)若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由．(1)证明设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入9x2＋y2＝m2得(k2＋9)x2＋2kbx＋b2－m2＝0，故xM＝＝，yM＝kxM＋b＝.于是直线OM的斜率kOM＝＝－，即kOM·k＝－9.所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．(2)解四边形OAPB能为平行四边形．因为直线l过点，所以l不过原点且与C有两个交点的充要条件是k＞0，k≠3.由(1)得OM的方程为y＝－x.设点P的横坐标为xP，由得x＝，即xP＝.将点的坐标代入l的方程得b＝，因此xM＝.四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即xP＝2xM.于是＝2×，解得k1＝4－，k2＝4＋.因为ki＞0，ki≠3，i＝1，2，所以当l的斜率为4－或4＋时，四边形OAPB为平行四边...
