专题13导数的应用（1）—研究函数单调性一、【知识精讲】函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.注意：函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.二、【典例精练】考点一求函数的单调区间【例1】已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值.(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)ex，求函数g(x)的单调减区间.【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′＝0，即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝.(2)由(1)得g(x)＝ex，故g′(x)＝x(x＋1)(x＋4)ex.令g′(x)<0，即x(x＋1)(x＋4)<0，解得－1
0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f′(x)<0，得单调递减区间.2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.考点二讨论函数的单调性【例2】(2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f(x)＝ex(ex－a)－a2x，其中参数a≤0.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)≥0，求a的取值范围.【解析】(1)函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，且a≤0.f′(x)＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a)(ex－a).①若a＝0，则f(x)＝e2x，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a<0，则由f′(x)＝0，得x＝ln.当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0.故f(x)在上单调递减，在区间上单调递增.(2)①当a＝0时，f(x)＝e2x≥0恒成立.②若a<0，则由(1)得，当x＝ln时，f(x)取得最小值，最小值为f＝a2，故当且仅当a2≥0，即0>a≥－2e时，f(x)≥0.综上，a的取值范围是[－2e，0].【解法小结】1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.考点三函数单调性的简单应用多维探究角度1比较大小或解不等式【例3－1】(1)已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cosx＋f(x)sinx＝1＋lnx，其中f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列不等式成立的是()A.ffC.f>fD.f>f(2)已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝，对任意实数都有f(x)－f′(x)>0，设F(x)＝，则不等式F(x)<的解集为()A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.(1，e)D.(e，＋∞)【答案】(1)B(2)B【解析】(1)令g(x)＝，则g′(x)＝＝.由解得，所以g>g，所以>，即f>f.(2)F′(x)＝＝，又f(x)－f′(x)>0，知F′(x)<0，∴F(x)在R上单调递减.由F(x)<＝F(1)，得x>1，所以不等式F(x)<的解集为(1，＋∞).角度2根据函数单调性求参数【例3－2】（2019全国卷III）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当00，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a<0，则当时，；当时，．故在单调递增，在单调递减.（2）当时，由（1）知，在单调递减，在单调递增，所以在[0,1]的最小值为，最大值为或.于是，所以当时，可知单调递减，所以的取值范围是.当时，单调递减，所以的取值范围是.综上，的取值范围是.【解法小结】1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集.(2)f(x)是单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不...
