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高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题2 数列 突破点5 数列的通项与求和教师用书 理-人教版高三数学试题VIP免费

高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题2 数列 突破点5 数列的通项与求和教师用书 理-人教版高三数学试题_第1页
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突破点5数列的通项与求和(对应学生用书第167页)提炼1an和Sn的关系若an为数列{an}的通项,Sn为其前n项和,则有an=在使用这个关系式时,一定要注意区分n=1,n≥2两种情况,求出结果后,判断这两种情况能否整合在一起.提炼2求数列通项常用的方法(1)定义法:①形如an+1=an+c(c为常数),直接利用定义判断其为等差数列.②形如an+1=kan(k为非零常数)且首项不为零,直接利用定义判断其为等比数列.(2)叠加法:形如an+1=an+f(n),利用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1),求其通项公式.(3)叠乘法:形如=f(n)≠0,利用an=a1···…·,求其通项公式.(4)待定系数法:形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0),先用待定系数法把原递推公式转化为an+1-t=p(an-t),其中t=,再转化为等比数列求解.(5)构造法:形如an+1=pan+qn(其中p,q均为常数,pq(p-1)≠0),先在原递推公式两边同除以qn+1,得=·+,构造新数列{bn},得bn+1=·bn+,接下来用待定系数法求解.(6)取对数法:形如an+1=pa(p>0,an>0),先在原递推公式两边同时取对数,再利用待定系数法求解.提炼3数列求和数列求和的关键是分析其通项,数列的基本求和方法有公式法、裂(拆)项相消法、错位相减法、分组法、倒序相加法和并项法等,而裂项相消法,错位相减法是常用的两种方法.回访1an与Sn的关系1.(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=__________.-[ an+1=Sn+1-Sn,an+1=SnSn+1,∴Sn+1-Sn=SnSn+1.又Sn≠0,∴-=1,即-=-1.又=-1,∴是首项为-1,公差为-1的等差数列,∴=-1+(n-1)×(-1)=-n,即Sn=-.]2.(2013·全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=________.(-2)n-1[当n=1时,S1=a1+,∴a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an+-=(an-an-1),∴an=-2an-1,即=-2,∴{an}是以1为首项的等比数列,其公比为-2,∴an=1×(-2)n-1,即an=(-2)n-1.]3.(2014·全国卷Ⅱ)数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=________.[ an+1=,∴an+1=====1-=1-=1-(1-an-2)=an-2,∴周期T=(n+1)-(n-2)=3.∴a8=a3×2+2=a2=2.而a2=,∴a1=.]回访2数列求和4.(2015·全国卷Ⅰ改编)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0,a+2an=4Sn+3,则(1){an}的通项公式为__________;(2)设bn=,则数列{bn}的前n项和为__________.(1)an=2n+1(2)[(1)由a+2an=4Sn+3,①可知a+2an+1=4Sn+1+3.②②-①,得a-a+2(an+1-an)=4an+1,即2(an+1+an)=a-a=(an+1+an)(an+1-an).由an>0,得an+1-an=2.又a+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.所以{an}是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为an=2n+1.(2)由an=2n+1可知bn===.设数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=b1+b2+…+bn==.]5.(2014·全国卷Ⅰ改编)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根,则(1){an}的通项公式为__________;(2)数列的前n项和为__________.(1)an=n+1(2)2-[(1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3.设数列{an}的公差为d,则a4-a2=2d,故d=,从而a1=.所以{an}的通项公式为an=n+1.(2)设的前n项和为Sn,由(1)知=,则Sn=++…++,Sn=++…++.两式相减得Sn=+-=+-.所以Sn=2-.](对应学生用书第167页)热点题型1数列中的an与Sn的关系题型分析:以数列中an与Sn间的递推关系为载体,考查数列通项公式的求法,以及推理论证的能力.数列{an}中,a1=1,Sn为数列{an}的前n项和,且满足=1(n≥2).求数列{an}的通项公式.【导学号:67722024】[解]由已知,当n≥2时,=1,所以=1,2分即=1,所以-=.4分又S1=a1=1,所以数列是首项为1,公差为的等差数列,6分所以=1+(n-1)=,即Sn=.8分所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-.10分因此an=12分给出Sn与an的递推关系,求an,常用思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为an的递推关系,再求其通项公式;二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n之间的关系,再求an.提醒:在利...

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