专题限时集训(五)数列的通项与求和[建议A、B组各用时：45分钟][A组高考达标]一、选择题1．(2016·济南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝()A．2n＋1B．2nC．2n－1D．2n－2A[由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，两式相减可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，所以数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.]2．数列{an}满足a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则a5＝()A.B.C．5D．6A[因为a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则＝，所以a5＝····a1，即a5＝××××1＝.故选A.]3.＋＋＋…＋的值为()A.B.－C.－D.－＋C[ ＝＝＝，∴＋＋＋…＋＝＝＝－.]4．在等差数列{an}中，a1＝－2012，其前n项和为Sn，若－＝2002，则S2014的值等于()A．2011B．－2012C．2014D．－2013C[等差数列中，Sn＝na1＋d，＝a1＋(n－1)，即数列是首项为a1＝－2012，公差为的等差数列．因为－＝2002，所以(2012－10)＝2002，＝1，所以S2014＝2014[(－2012)＋(2014－1)×1]＝2014，选C.]5．数列{an}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋等于()A.B.C.D.A[令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，上述n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n，所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，因此＝＝2，所以＋＋＋…＋＝2＝2＝.故选A.]二、填空题6．(2016·西安模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，an＝4Sn－3，则S4＝__________.【导学号：67722025】[ an＝4Sn－3，∴当n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1，当n≥2时， 4Sn＝an＋3，∴4Sn－1＝an－1＋3，∴4an＝an－an－1，∴＝－，∴{an}是以1为首项，－为公比的等比数列，∴S4＝＝×＝.]7．(2016·广州二模)设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，则数列的前n项和为__________．[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，则数列的前n项和为＋＋…＋＝＝.]8．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋1(n∈N*)，且a1＝1，则通项公式an＝________.n∈N*[由Sn＝2an＋1(n∈N*)可得Sn－1＝2an(n≥2，n∈N*)两式相减得：an＝2an＋1－2an，即＝(n≥2，n∈N*)．又由a1＝1及Sn＝2an＋1(n∈N*)可得a2＝，所以数列{an}从第二项开始成一个首项为a2＝，公比为的等比数列，故当n>1，n∈N*时有an＝·n－2，所以有an＝n∈N*.]三、解答题9．(2016·太原二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)数列{bn}满足bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)，求数列的前n项和Tn.[解](1) ，an，Sn成等差数列，∴2an＝Sn＋，1分当n＝1时，2a1＝S1＋，∴a1＝，2分当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴＝2，4分∴数列{an}是首项为，公比为2的等比数列，an＝2n－2(n∈N*).6分(2) bn＝log2a2n＋1×log2a2n＋3＝log222n＋1－2×log222n＋3－2＝(2n－1)(2n＋1)，8分∴＝×＝，10分∴Tn＝1－＋－＋…＋－＝＝.12分10．已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.[解](1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0(bn≠0，n∈N*)，所以－＝2，2分即cn＋1－cn＝2.3分又c1＝＝1，所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1.5分(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，7分于是数列{an}的前n项和Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1，8分3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，9分相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，11分所以Sn＝(n－1)3n＋1.12分[B组名校冲刺]一、选择题1．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于()A.B.C.D.B[y＝loga(x－1)＋3恒过定点(2,3)，即a2＝2，a3＝3，又{an}为等差数列，∴an＝n，∴bn＝，∴T10＝...
