第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理1.一个同学在电脑中打出如下图形(○表示空心圆，●表示实心圆)：○●○○●○○○●○○○○，若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2014个圆中实心圆的个数为________．答案：61解析：将这些圆分段处理，第一段两个圆，第二段三个圆，第三段四个圆，…可以看出每一段的最后一个圆都是实心圆，由于本题要求前2014个圆中实心圆的个数，因此，找到第2014个圆所在的段数很重要，由2＋3＋…＋62＝×61＝1952<2014，而2＋3＋…＋63＝×62＝2015>2014，因此，共有61个实心圆．2.已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2014(x)＝________．答案：cosx－sinx解析：f2(x)＝f′1(x)＝cosx－sinx；f3(x)＝f′2(x)＝－sinx－cosx；f4(x)＝f′3(x)＝－cosx＋sinx；f5(x)＝f′4(x)＝sinx＋cosx，则其周期为4，即fn(x)＝fn＋4(x)．f2014(x)＝f2(x)＝cosx－sinx.3.已知＝2，＝3，＝4，…，＝2014，则＝__________．答案：2014解析：由题意对于＝2，此时n＝7，m＝2，所以＝＝2；对于＝3，此时m＝3，n＝26，所以＝＝3；对于＝4，此时m＝4，n＝63，所以＝＝4；发现：m的值是等号左边根号下和式前面的数，而化简后的结果就是m的值，所以＝2014·中的m即为2014，所以此时＝2014.4.在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，点D是点A在BC边上的射影，则AB2＝BD·BC.拓展到空间，在四面体ABCD中，DA⊥平面ABC，点O是点A在平面BCD内的射影，且点O在平面BCD内，类比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面积之间的关系为__________．答案：S＝S△BOC·S△BDC解析：如图所示，依题意作出四面体ABCD.连结DO，并延长交BC于点E，连结AO、AE，则易知AO⊥DE，BC⊥AO.由DA⊥平面ABC，得DA⊥BC，又DA∩AO＝A，所以BC⊥平面AED，所以DE⊥BC，AE⊥BC.又易知△AED为直角三角形，其中∠DAE＝90°，AO为斜边ED上的高，所以由射影定理得AE2＝EO·ED.又S△ABC＝BC·AE，S△BOC＝BC·EO，S△BDC＝BC·DE，所以AE＝，EO＝，DE＝.由AE2＝EO·ED，得S＝S△BOC·S△BDC.5.已知命题：在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点A(－p，0)和C(p，0)，顶点B在椭圆＋＝1(m>n>0，p＝)上，椭圆的离心率是e，则＝.试将该命题类比到双曲线中，给出一个真命题是________________________________________________________________________．答案：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(－p，0)和C(p，0)，顶点B在双曲线－＝1(m>0，n>0，p＝)上，双曲线的离心率是e，则＝解析：由正弦定理和椭圆定义＝＝，类比双曲线应有＝＝.6.已知数列{an}是正项等差数列，若bn＝，则数列{bn}也为等差数列．类比上述结论，已知数列{cn}是正项等比数列，若dn＝________，则数列{dn}也为等比数列．答案：(c1·c·c·…·c)解析：由等差数列{an}的a1＋2a2＋…＋nan的和，则等比数列{cn}可类比为c1·(c2)2·…·(cn)n的积；对a1＋2a2＋…＋nan求算术平均值，所以对c1·(c2)2·…·(cn)n求几何平均值，所以类比结果为(c1·c·c·…·c).7.设函数f(x)＝(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，….根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________．答案：解析：观察知四个等式等号右边的分母为x＋2，3x＋4，7x＋8，15x＋16，即(2－1)x＋2，(4－1)x＋4，(8－1)x＋8，(16－1)x＋16，所以归纳出fn(x)＝f(fn－1(x))的分母为(2n－1)x＋2n，故当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.8.如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n(n≥2)行的第2个数为__________．答案：n2－2n＋3解析：第n(n≥2)行的第2个数为3＋3＋5＋7＋…＋[2(n－2)＋1]＝3＋＝n2－2n＋3.9.(2014·新课标全国Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为__________．答案：A解析：由于甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，但三人去...
