第一部分专题六第三讲定点、定值、存在性问题A组1．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(A)A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线[解析]设C(x，y)，因为OC＝λ1OA＋λ2OB，所以(x，y)＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即解得又λ1＋λ2＝1，所以＋＝1，即x＋2y＝5，所以点C的轨迹为直线．故选A．2．过双曲线x2－＝1的右支上一点P，分别向圆C1：(x＋4)2＋y2＝4和圆C2：(x－4)2＋y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2－|PN|2的最小值为(B)A．10B．13C．16D．19[解析]由题意可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)，因此|PM|2－|PN|2＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13.故选B．3．已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝2，若P是该双曲线右支上的一点，且满足|PF1|＝2|PF2|，则△PF1F2面积的最大值是(B)A．1B．C．D．2[解析] ∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，设∠F1PF2＝θ，∴cosθ＝＝，∴S2△PF1F2＝(×4a×2a×sinθ)2＝16a4(1－)＝－9(a2－)2≤，当且仅当a2＝时，等号成立，故S△PF1F2的最大值是.故选B．4．已知双曲线M的焦点F1，F2在x轴上，直线x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，点P在双曲线M上，且PF1·PF2＝0，如果抛物线y2＝16x的准线经过双曲线M的一个焦点，那么|PF1|·|PF2|＝(B)A．21B．14C．7D．0[解析]设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 直线x＋3y＝0是双曲线M的一条渐近线，∴＝，①又抛物线的准线为x＝－4，∴c＝4②又a2＋b2＝c2.③∴由①②③得a＝3.设点P为双曲线右支上一点，∴由双曲线定义得＝6④又PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2，∴在Rt△PF1F2中|PF1|2＋|PF2|2＝82⑤联立④⑤，解得|PF1|·|PF2|＝14.5．已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为(D)A．B．C．D．[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1>0，x2>0，∴|FA|＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，∴x1＋2＝2x2＋4，∴x1＝2x2＋2.由，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，∴x1x2＝4，x1＋x2＝＝－4.由，得x＋x2－2＝0，∴x2＝1，∴x1＝4，∴－4＝5，∴k2＝，k＝.6．已知斜率为的直线l与抛物线y2＝2px(p>0)交于位于x轴上方的不同两点A，B，记直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则k1＋k2的取值范围是(2，＋∞).[解析]设直线l：x＝2y＋t，联立抛物线方程消去x得y2＝2p(2y＋t)⇒y2－4py－2pt＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，Δ＝16p2＋8pt>0⇒t>－2p，y1＋y2＝4p，y1y2＝－2pt>0⇒t<0，即－2p2，即k1＋k2的取值范围是(2，＋∞)．7．已知F1，F2分别是双曲线3x2－y2＝3a2(a>0)的左、右焦点，P是抛物线y2＝8ax与双曲线的一个交点，若|PF1|＋|PF2|＝12，则抛物线的准线方程为x＝－2.[解析]将双曲线方程化为标准方程得－＝1，抛物线的准线为x＝－2a，联立⇒x＝3a，即点P的横坐标为3a.而由⇒|PF2|＝6－a，又易知F2为抛物线的焦点，∴|PF2|＝3a＋2a＝6－a，得a＝1，∴抛物线的准线方程为x＝－2.8．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为抛物线C的准线与x轴的交点，若tan∠AMB＝2，则|AB|＝8.[解析]依题意作出图象如图所示，设l：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，x1x2＝·＝1，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2. tan∠AMB＝tan(∠AMF＋∠BMF)，∴＝2，＝2，y1－y2＝4m2，∴4＝4m2，m2＝1，∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝4m2＋4＝8.9．(2018·抚州一模)已知动圆C与圆x2＋y2＋2x＝0外切，与圆x2＋y2－2x－24＝0内切．(1)试求动圆圆心C的轨迹方程；(2)过定点P(0,2)且斜率为k(k≠0)的直线l与(1)中轨迹交于不同的两点M，N，试判断在x轴上是否存在点A(m,0)，使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的范围；若不存在，请说明理由．[解析](1)由x2＋y2＋2x＝0得(x＋1)2＋y2＝1，由x2＋y2－2x－24＝0得(x－1)2＋y2＝2...
