高三必过关题6三角函数考点一：角的概念、三角函数概念例1已知角的终边上的一点的坐标为，则角的最小正值为．答：提示：点为第四象限的点，又由得．例2已知扇形的周长为16，当扇形圆心角为_________弧度时，扇形有最大面积．答：2rad提示：设扇形的半径为，弧长为，则，即，所以，故当时面积最大，此时．考点二：三角函数化简与求值例3．答：提示：．例4____________.答：提示：原式例5已知,则______________.答：提示：将两边平方得，即，也即，所以．例6已知，且，则的值为．答：提示：由且得，故．例7设为锐角，若，则的值为▲．答：。提示：∵为锐角，即，∴。∵，∴。∴。∴。∴例8若,则答：提示：由题意有又因为所以例9已知是方程的两根，则．答：提示：由题意，故．考点三：三角函数图象与性质例10若函数__________.答：提示：由函数的图象可知，与纵坐标相反，而且不是相邻的对称点,所以函数的周期，所以,所以．例11将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若，的图象都经过点，则的值为__________.答：提示：函数向右平移个单位，得到，因为两个函数都经过点，所以，，所以，，所以，，因为，所以．例12函数的一条对称轴方程为，则．答：提示：由，得，又，所以．例13设偶函数的最小正周期为，则在上的单调递减区间是．答：提示：，由周期为知，即，又是偶函数，所以对任意，恒成立，即：对任意恒成立，化简得：，此时，令，得，又，故所求减区间为．例14设函数的最小正周期为.且(1)求和的值；(2)在给定坐标系中作出函数在上的图像；(3)若，求的取值范围．提示：（1）因为周期，所以，，.（2）列表如下：00100图像如图：（3）由，得；解得的范围是．考点四：解三角形例15中,,是的中点,若,则________.答：提示：由与面积相等有,即，整理得，所以，所以例16在，内角所对的边长分别,_________.答：提示：由正弦定理有即因为，所以即因为为锐角，所以例17如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．测得，，米，并在点测得塔顶的仰角为，则塔高________米．答：提示：在中，由正弦定理得：，在中（米）．例18设的内角的对边分别为，且，，，则．答：提示：因为,,所以，，，根据正弦定理得，解得．例19设的内角所对的边为；则下列命题正确的是．①若；则②若；则③若；则④若；则⑤若；则答：①②③提示：①；②；③当时，与矛盾；④取满足得：；⑤取满足得：．例20在中，内角的对边分别是，且。（1）求；（2）设，求的值.提示：（1）由余弦定理，得,又因，所以(2)，因此①因为，所以，所以因为，即，解得，由①得，解得考点五：三角函数型函数的最值与范围例21当时，函数的最大值是．答：1提示：，因为，所以，，即，故最大值为1．例22函数在区间上的最大值为．答：1提示：，设，则，，所以当时，．例23设，不等式对恒成立，则的取值范围为．答：．提示：根据二次函数的图象可得，即，转化为，即，因为，故．例24设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，(Ⅰ)求的值(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值提示：（1）因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又，所以，因此（2）由（1）知，当时，所以，因此，故在区间上的最大值为，最小值为例25在△中，内角、、的对边分别是、、，且．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，为△的面积，求的最大值，并指出此时的值．提示：（1）由余弦定理，得,又因，所以（2）由（1）得，又由正弦定理及得因此所以，当，即时，取最大值3.例26如图，现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB.现欲在弧AB上取不同于A、B的点C，用渔网沿着弧AC(弧AC在扇形AOB的弧AB上)、半径OC和线段CD(其中CD∥OA)，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA＝1km，∠AOB，∠AOC＝．(1)用表示CD的长度；(2)求所需渔网长度(即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和)的取值范围．提示：(1)由CD∥OA，∠AOB，∠AOC＝，得∠OCD＝，∠ODC，∠COD．在△OCD中，由正弦定理，得,．(2)设渔网的长度为．由(1)可知，，所以（文科学生可以先展开，求导后再合并），因为，所以，令，得，所以，所以．＋0－增极大值减∴．故所需渔网长度的取值范围是．
