专题限时集训(四)平面向量(对应学生用书第86页)(限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(广东湛江市2017届高三上学期期中调研考试)已知向量BA＝，BC＝，则∠ABC＝________.60°[cos∠ABC＝＝＝，所以∠ABC＝60°.]2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，则实数t的值为________．－5[ a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)．又a⊥(ta＋b)，则a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5.]3．(广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷)已知a，b均为单位向量，且(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为________.【导学号：56394025】[向量a，b的夹角为θ，因为|a|＝|b|＝1，所以(2a＋b)·(a－2b)＝－3a·b＝－3cosθ＝－，即cosθ＝，θ＝.]4．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)设向量a＝(cosx，－sinx)，b＝，且a＝tb，t≠0，则sin2x的值等于________．±1[因为b＝＝(－sinx，cosx)，a＝tb，所以cosxcosx－(－sinx)(－sinx)＝0，即cos2x－sin2x＝0，所以tan2x＝1，tanx＝±1，x＝＋(k∈Z)，2x＝kπ＋(k∈Z)，sin2x＝±1.]5．(河北唐山市2017届高三年级期末)设向量a与b的夹角为θ，且a＝(－2,1)，a＋2b＝(2,3)，则cosθ＝________.－[因为(a＋2b)－a＝2b＝(4,2)，所以b＝(2,1)，所以cosθ＝＝＝－.]6．(天津六校2017届高三上学期期中联考)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝________.[因为a⊥b⇒a·b＝0⇒x－2＝0⇒x＝2，所以|a＋b|＝|(3，－1)|＝.]7．(2017·江苏省无锡市高考数学一模)在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，若点P满足AP＝AB＋λAC，且BP·CP＝1，则实数λ的值为________．－或1[△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠A＝60°，点P满足AP＝AB＋λAC，∴AP－AB＝λAC，∴BP＝λAC；又CP＝AP－AC＝(AB＋λAC)－AC＝AB＋(λ－1)AC，∴BP·CP＝λAC·[AB＋(λ－1)AC]＝λAC·AB＋λ(λ－1)AC2＝λ×2×1×cos60°＋λ(λ－1)×22＝1，整理得4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－或λ＝1，∴实数λ的值为－或1.]8．(天津六校2017届高三上学期期中联考)D为△ABC的边BC上一点，DC＝－2DB，过D点的直线分别交直线AB、AC于E、F，若AE＝λAB，AF＝μAC，其中λ＞0，μ＞0，则＋＝________.3[因为AD＝AB＋AC＝mAE＋nAF＝mλAB＋nμAC(m＋n＝1)，所以mλ＝，nμ＝⇒＋＝3m＋3n＝3.]9．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)已知平面向量AC＝(1,2)，BD＝(－2,2)，则AB·CD的最小值为________．－[设A(a，b)，B(c，d)， AC＝(1,2)，BD＝(－2,2)，∴C(a＋1，b＋2)，D(c－2，d＋2)，则AB＝(c－a，d－b)，CD＝(c－a－3，d－b)，∴AB·CD＝(c－a)(c－a－3)＋(b－d)2＝(c－a)2－3(c－a)＋(b－d)2＝2－＋(b－d)2≥－.∴AB·CD的最小值为－.]10．(广东2017届高三上学期阶段测评(一))已知向量AB，AC，AD满足AC＝AB＋AD，|AB|＝2，|AD|＝1，E，F分别是线段BC，CD的中点，若DE·BF＝－，则向量AB与AD的夹角为________.[DE＝AB－，BF＝AD－，∴DE·BF＝－－＋＝－＋AB·AD＝－.∴AB·AD＝1，cos〈AB，AD〉＝，∴AB与AD的夹角为.]11．(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图4－8，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，若AB·AD＝－7，则BC·DC的值是________.【导学号：56394026】图4－89[平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5，∴OB＋OD＝0；若AB·AD＝－7，则(AO＋OB)·(AO＋OD)＝AO2＋AO·OD＋AO·OB＋OB·OD＝AO2＋AO·(OD＋OB)－OB2＝32－OB2＝－7；∴OB2＝16，∴|OB|＝|OD|＝4；∴BC·DC＝(BO＋OC)·(DO＋OC)＝BO·DO＋BO·OC＋DO·OC＋OC2＝－BO2＋OC·(BO＋DO)＋OC2＝－42＋0＋52＝9.]12．(广东省佛山市2017届高三教学质量检测(一))一直线l与平行四边形ABCD中的两边AB、AD分别交于E，F，且交其对角线AC于K，若AB＝2AE，AD＝3AF，AC＝λAK(λ∈R)，则λ＝________.5[由平行四边形法则，知AC＝AB＋AD，所以AK＝AC＝(AB＋AD)＝(2AE＋3AF)＝AE＋AF，又E，K，F三点共线，所以＋＝1，解得λ＝5.]13．(江苏省南京市2017届高考三模)在凸四边形ABCD中，BD＝2...
