专题限时集训(十一)附加题部分(对应学生用书第107页)(限时：120分钟)1．(本小题满分10分)(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l：(t为参数)，与曲线C：(k为参数)交于A，B两点，求线段AB的长．[解]法一：直线l的参数方程化为普通方程得4x－3y＝4，将曲线C的参数方程化为普通方程得y2＝4x.4分联立方程组解得或所以A(4,4)，B.所以AB＝.10分法二：将曲线C的参数方程化为普通方程得y2＝4x.直线l的参数方程代入抛物线C的方程得2＝4，即4t2－15t－25＝0，8分所以t1＋t2＝，t1t2＝－.所以AB＝|t1－t2|＝＝.10分2．(本小题满分10分)(2017·江苏省无锡市高考数学一模)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcos＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[解](1)ρ＝2⇒ρ2＝4，所以x2＋y2＝4；因为ρ2－2ρcos＝2，2分所以ρ2－2ρ＝2，所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.6分(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.8分化为极坐标方程为ρcosθ＋ρsinθ＝1，即ρsin＝.10分3．(本小题满分10分)(苏北四市(淮安、宿迁、连云港、徐州)2017届高三上学期期中)设n∈N*，f(n)＝3n＋7n－2.(1)求f(1)，f(2)，f(3)的值；(2)证明：对任意正整数n，f(n)是8的倍数．[解](1)代入求出f(1)＝8，f(2)＝56，f(3)＝368.2分(2)证明：①当n＝1时，f(1)＝8是8的倍数，命题成立．②假设当n＝k时命题成立，即f(k)＝3k＋7k－2是8的倍数，那么当n＝k＋1时，f(k＋1)＝3k＋1＋7k＋1－2＝3(3k＋7k－2)＋4(7k＋1)，6分因为7k＋1是偶数，所以4(7k＋1)是8的倍数，又由归纳假设知3(3k＋7k－2)是8的倍数，所以f(k＋1)是8的倍数，所以当n＝k＋1时，命题也成立．根据①②知命题对任意n∈N*成立.10分4．(本小题满分10分)利用二项式定理证明：当n∈N*时，32n＋2－8n－9能被64整除．[解]32n＋2－8n－9＝9n＋1－8n－9＝(8＋1)n＋1－8n－9＝8n＋1＋C·8n＋C·8n－1＋…＋C·82＋C·8＋1－8n－9＝82·(8n－1＋C·8n－2＋C·8n－3＋…＋C)，6分而8n－1＋C·8n－2＋C·8n－3＋…＋C∈N*，所以32n＋2－8n－9能被64整除.10分5．(本小题满分10分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知a，b，c为正实数，求证：＋＋≥a＋b＋c.【导学号：56394086】[证明] a，b，c为正实数，∴a＋≥2b，b＋≥2c，c＋≥2a，4分将上面三个式子相加得：a＋b＋c＋＋＋≥2a＋2b＋2c，∴＋＋≥a＋b＋c.10分6．(本小题满分10分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x|＋a.(1)若不等式f(x)≥0的解集为空集，求实数a的取值范围；(2)若方程f(x)＝x有三个不同的解，求实数a的取值范围．[解](1)令g(x)＝|x＋1|－|x|，则f(x)≥0的解集为空集⇔g(x)≥－a的解集为空集⇔g(x)＜－a恒成立，g(x)＝|x＋1|－|x|＝，作出函数g(x)的图象，由图可知，函数g(x)的最大值为g(x)max＝1，所以－a＞1，即a＜－1.5分综上，实数a的取值范围为(－∞，－1)．(2)在同一坐标系内作出函数g(x)＝|x＋1|－|x|图象和y＝x的图象如图所示，由题意可知，把函数y＝g(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)与y＝x的图象始终有3个交点，从而－1＜a＜0.10分7．(本小题满分10分)(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图11－9，已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交⊙O于点D，∠ACB＝∠ADC.求证：AD·BC＝2AC·CD.图11－9[证明] ∠ACB＝∠ADC，AD是⊙O的直径，∴AD垂直平分BC，设垂足为E(图略)， ∠ACB＝∠EDC，∠ACD＝∠CED，∴△ACD∽△CED，6分∴＝，∴AD·BC＝AC·CD，∴AD·BC＝2AC·CD.10分8．(本小题满分10分)(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)如图11－10，直线DE切圆O于点D，直线EO交圆O于A，B两点，DC⊥OB于点C，且DE＝2BE，求证：2OC＝3BC.图11－10[证明]连接OD，设圆的半径为R，BE＝x，则OD＝R，DE＝2BE＝2x，Rt△ODE中， DC⊥OB，∴OD2＝OC·OE，∴R2＝OC(R＋x)，①4分 直线DE切圆O于点D，∴DE2＝BE·AE，∴4x2＝x(2R＋x)，②，∴x＝，8分代入①，解得OC＝，∴BC＝OB－OC＝，∴2OC＝3BC.10分9．(本小题满分10分)(2017·江苏...
