专题限时集训(五)导数的简单应用(建议用时：45分钟)1．(2016·盐城期中)函数f(x)＝ex－x的单调递增区间为________．(0，＋∞)[ f′(x)＝ex－1，由f′(x)＞0得ex＞1，即x＞0，∴f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．]2．函数f(x)＝在点(1，－2)处的切线方程是________．x－y－3＝0[ f′(x)＝，∴f′(1)＝1，即切线方程为y＋2＝x－1，即x－y－3＝0.]3．如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图5－1所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间内单调递增；②函数y＝f(x)在区间内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4,5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．则上述判断中正确的是________(写出所有正确判断的序号)．图5－1③[当x∈(－3，－2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，①错；当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(2,3)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，②错；当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值，④错；当x＝－时，函数y＝f(x)无极值，⑤错．]4．函数f(x)＝的最大值为________．[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，又f′(x)＝＝.令f′(x)＝0得x＝，且当00，当x>时，f′(x)<0，所以f(x)在x＝处取得极大值，也就是函数在定义域上的最大值f()＝.]5．若函数f(x)＝－x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是________．【导学号：19592016】(0,1)∪(2,3)[对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋4－＝＝－.由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1,3，则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t<10，且－2,3是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，则由根与系数的关系知＝－1，＝－6，∴b＝，c＝－18a，此时f(x)＝ax3－x2－18ax－34，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数；当x∈(－2,3)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，∴f(3)为f(x)的极小值，且f(3)＝27a－－54a－34＝－115，解得a＝2.]7．已知a≤＋lnx对任意x∈恒成立，则a的最大值为________．0[令f(x)＝＋lnx，则f′(x)＝，当x∈时，f′(x)＜0，当x∈(1,2]时，f′(x)＞0，∴f(x)在上单调递减，在[1,2]上单调递增，∴[f(x)]min＝f(1)＝0，∴a≤0.]8．已知函数f(x)＝4lnx＋ax2－6x＋b(a，b为常数)，且x＝2为f(x)的一个极值点，则a的值为________．1[由题意知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋2ax－6，∴f′(2)＝2＋4a－6＝0，即a＝1.]9．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：x－10245y12021f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图5－2所示．图5－2(1)f(x)的极小值为________；(2)若函数y＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围为________．(1)0(2)[1,2)[(1)由y＝f′(x)的图象可知，f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：x(－1,0)0(0,2)2(2,4)4(4,5)f′(x)＋0－0＋0－f(x)极大值极小值极大值∴f(2)为f(x)的极小值，f(2)＝0.(2)y＝f(x)的图象如图所示：若函数y＝f(x)－a有4个零点，则a的取值范围为1≤a<2.]10．设是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个零点，则函数f(x)在区间(0,2π)内所有极值点之和为________．π[由零点的定义可得：f＝sin＝0，可得φ＝－＋kπ，根据题意不妨可令φ＝－，则f(x)＝sin，由f(x)＝±1，可解得2x－＝±＋kπ，即x＝－＋π或x＝＋π，又x∈(0,2π)，则x可取，，，，故其和为＋＋＋＝π.]11．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d在区间[－1,2]上是减函数，则b＋c的最大值为________．【导学号：19592017】－[f′(x)＝3x2＋2bx＋c，f′(x)＝0显然有两不等实根x1，x2，从题意上看x1≤－1，x2≥2，即f′(－1)≤0，f′(2)≤0，∴由此求b＋c的最大值，可归结为线性规划问题，也可用不等式知识解决，两式直接相加，即f′(－1)＋f′(2)＝2b＋2c＋15≤0，b＋c≤－.]12．(2016·苏州期中)设f′(x)和g′(x)分别...
