第8讲三角函数的图象与性质题型一|三角函数的概念及其基本关系、诱导公式(1)已知cos＝，则sin＝________.(2)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则＝________.(3)(2016·合肥模拟)如图8－1，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P0，当秒针从P0(此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系是________．图8－1(1)(2)(3)y＝sin[(1)由题意得：sin＝sin＝cos＝.(2)根据直线的斜率的定义得tanθ＝3，＝＝＝.(3)由三角函数的定义可知，初始位置点P0的弧度为，由于秒针每秒转过的弧度为－，针尖位置P到坐标原点的距离为1，故点P的纵坐标y与时间t的函数关系可能为y＝sin.]【名师点评】1.涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．2．应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．1．(2016·南通调研一)已知sin＝，则sin＋sin2的值是________．[sin＋sin2＝sin＋sin2＝－sin＋1－sin2＝.]2．如图8－2，以Ox为始边作角α(0＜α＜π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为，则＝________.图8－2[由三角函数定义，得cosα＝－，sinα＝，∴原式＝＝＝2cos2α＝2×2＝.]3．如图8－3所示，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP的坐标为________．【导学号：19592026】图8－3(2－sin2,1－cos2)[设A(2,0)，B(2,1)，由题意知劣弧长为2，∠ABP＝＝2.作PC⊥x轴，垂足为C；BD⊥PC，垂足为D.∴∠PBD＝2－.设P(x，y)，由三角函数定义，x＝2－1×cos＝2－sin2，y＝1＋1×sin＝1－cos2，∴OP的坐标为(2－sin2,1－cos2)．]题型二|三角函数的图象及应用(1)函数y＝sin的图象可由函数y＝sinx的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y＝sinx的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的，现给出下列四个变换：A．图象上所有点向右平移个单位；B．图象上所有点向右平移个单位；C．图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)；D．图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)．请按顺序写出两次变换的代表字母：________.(2)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0,0<φ<π)的图象如图8－4所示，则f的值为________．图8－4(1)BD或DA(2)1[(1)由函数y＝sinx的图象上所有点向右平移个单位，可得函数y＝sin，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得函数y＝sin，则两次变换依次为BD.或，由函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，可得函数y＝sin2x，再将图象上所有点向右平移个单位，则两次变换依次为DA.(2)由图知：A＝2，＝－，T＝π，ω＝＝2.又函数过点，所以有sin＝1，而0<φ<π，所以φ＝.所以f(x)＝2sin，因此f＝2sin＝1.]【名师点评】作三角函数图象左右平移变换时，平移的单位数是指单个变量x的变化量，因此由y＝sinωx(ω>0)的图象得到y＝sin(ωx＋φ)的图象时，应将图象上所有点向左(φ>0)或向右(φ<0)平移个单位，而非|φ|个单位．1．(2016·苏北三市三模)已知函数f(x)＝sinx(x∈[0，π])和函数g(x)＝tanx的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积为________．π[由sinx＝tanx得cosx＝，又x∈[0，π]，∴x＝，又f＝sin＝.不妨设A(0,0)，B，C(π，0)，∴S△ABC＝×π×＝π.]2．将函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)在上为增函数，则ω的最大值为________．2[平移后的解析式为g(x)＝2sin＝2sinωx，此函数的单调递增区间为－≤x≤＋，故⊆(k∈Z)，即由①式得k≤，由②式得0<ω≤8k＋2，因为k∈Z且要求ω的最大值，则k＝0，故ω的最大值为2.]3．函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图8－5所示，则f(x)的单调递减区间为________．图8－5，k∈Z[由图象知，周期T＝2＝2，∴＝2，∴...
