第10讲高考中的三角函数题型一|三角恒等变换(2016·南京盐城二模)已知α为锐角，cos＝.(1)求tan的值；(2)求sin的值．[解](1)因为α∈，所以α＋∈，所以sin＝＝，3分所以tan＝＝2.6分(2)因为sin＝sin＝2sincos＝，9分cos＝cos＝2cos2－1＝－，12分所以sin＝sin＝sincos－cossin＝.14分【名师点评】1.本题(2)在求解中，从角“2α＋”与角“α＋”的关系入手，先求cos，再求sin的值，避免了复杂的运算．2．三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系．已知0＜α＜＜β＜π，tan＝，cos(β－α)＝.(1)求sinα的值；(2)求β的值．[解](1) tan＝，∴tanα＝＝＝.3分由5分解得sinα＝.6分(2)由(1)可知cosα＝＝＝，又0＜α＜＜β＜π，8分∴β－α∈(0，π)，而cos(β－α)＝，10分∴sin(β－α)＝＝＝.11分∴sinβ＝sin[α＋(β－α)]＝sinαcos(β－α)＋cosαsin(β－α)＝×＋×＝.13分又β∈，故β＝.14分题型二|正、余弦定理在△ABC中，已知AB·AC＝3BA·BC.(1)求证：tanB＝3tanA；(2)若cosC＝，求A的值．[解题指导](1)AB·AC＝3BA·BC―――――→AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB―――→证明tanB＝3tanA(2)cosC――→tanC――→tan(A＋B)――→tanA――→求A.[解](1)证明：因为AB·AC＝3BA·BC，所以AB·AC·cosA＝3BA·BC·cosB，2分即AC·cosA＝3BC·cosB．由正弦定理知＝，从而sinBcosA＝3sinAcosB．4分又因为0
0，cosB>0，所以tanB＝3tanA．6分(2)因为cosC＝，00，所以tanA＝1，所以A＝.14分【名师点评】求解此类问题的关键是将几何问题代数化，基本工具是正(余)弦定理．若要把“边”化为“角”，常利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，若要把“角”化为“边”，常利用sinA＝，sinB＝，sinC＝，cosC＝等．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(b2＋c2－a2)tanA＝bc.(1)求角A；(2)若a＝2，求△ABC的面积S的最大值．【导学号：19592032】[解](1)由已知得·＝，所以sinA＝，4分又因为△ABC为锐角三角形，所以A＝60°.6分(2)因为a＝2，A＝60°，所以b2＋c2＝bc＋4，S＝bcsinA＝bc，8分而b2＋c2≥2bc⇒bc＋4≥2bc⇒bc≤4，10分又S＝bcsinA＝bc≤×4＝.13分所以△ABC的面积S的最大值等于.14分题型三|正、余弦定理的实际应用(2016·无锡期中)如图10－1，某自行车手从O点出发，沿折线O－A－B－O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距20千米．该车手于上午8点整到达点A,8点20分骑至点C，其中点C位于点O南偏东(45°－α)(其中sinα＝，0°＜α＜90°)且与点O相距5千米(假设所有路面及观测点都在同一水平面上)．图10－1(1)求该自行车手的骑行速度；(2)若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由．[解](1)由题意知，OA＝20，OC＝5，∠AOC＝α，sinα＝.由于0°＜α＜90°，所以cosα＝＝.3分由余弦定理，得AC＝＝5.5分所以该自行车手的行驶速度为＝15(千米/小时).6分(2)如图，设直线OE与AB相交于点M.在△AOC中，由余弦定理，得：cos∠OAC＝＝＝，从而sin∠OAC＝＝＝.9分在△AOM中，由正弦定理，得：OM＝＝＝20.12分由于OE＝27.5＞20＝OM，所以点M位于点O和点E之间，且ME＝OE－OM＝7.5.过点E作EH⊥AB于点H，则EH为点E到直线AB的距离.14分在Rt△EHM中，EH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin(45°－∠OAC)＝7.5×＝＜3.5.所以该自行车手会进入降雨区.16分【名师点评】借助正、余弦定理解决与实际生活有关的数学问题是高考的一个命题热点，解题的关键是将问题转化到平面图形(如三角形、四边形等)中，然后借助正、余弦定理解题．(2016·扬州期中)有一块三角形边角地，如图10－2，△ABC中，其中AB＝8(百米)，AC＝6(百米)，∠A＝60°.某市为迎接2500年城庆，欲...
