高考数学二轮专题复习与策略第1部分专题3 数列第12讲高考中的数列专题限时集训理-人教版高三数学试题VIP免费

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专题限时集训(十三)高考中的数列(建议用时：45分钟)1．(2016·苏州期中)已知数列{an}的奇数项是公差为d1的等差数列，偶数项是公差为d2的等差数列，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，a2＝2.(1)若S5＝16，a4＝a5，求a10；(2)已知S15＝15a8，且对任意n∈N*，有an1.当n为奇数时， an0恒成立，8分∴d1－d2≤0，于是有d1＝d2. S15＝15a8，∴8＋d1＋14＋d2＝30＋45d2，∴d1＝d2＝2，an＝n，∴数列{an}是等差数列.10分(3)若d1＝3d2(d1≠0)，且存在正整数m，n(m≠n)，使得am＝an，由题意得，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数，不妨设m为奇数，n为偶数． am＝an，∴1＋d1＝2＋d2， d1＝3d2，∴d1＝，14分 m为奇数，n为偶数，∴3m－n－1的最小正值为2，此时d1＝3，d2＝1，∴数列{an}的通项公式为an＝16分2．(2016·苏锡常镇调研二)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且对任意的正整数n，都有Sn＋1＝λSn＋3n＋1，其中常数λ>0.设bn＝(n∈N*)﹒(1)若λ＝3，求数列{bn}的通项公式；(2)若λ≠1且λ≠3，设cn＝an＋×3n(n∈N*)，证明数列{cn}是等比数列；(3)若对任意的正整数n，都有bn≤3，求实数λ的取值范围．[解] Sn＋1＝λSn＋3n＋1，n∈N*，∴当n≥2时，Sn＝λSn－1＋3n，从而an＋1＝λan＋2·3n，n≥2，n∈N*.又在Sn＋1＝λSn＋3n＋1中，令n＝1，可得a2＝λa1＋2·31，满足上式，∴an＋1＝λan＋2·3n，n∈N*﹒2分(1)当λ＝3时，an＋1＝3an＋2·3n，n∈N*，从而＝＋，即bn＋1－bn＝，又b1＝1，∴数列{bn}是首项为1，公差为的等差数列，∴bn＝.4分(2)证明：当λ>0且λ≠3且λ≠1时，cn＝an＋×3n＝λan－1＋2×3n－1＋×3n＝λan－1＋×3n－1(λ－3＋3)＝λ＝λ·cn－1，又c1＝3＋＝≠0，∴{cn}是首项为，公比为λ的等比数列，cn＝·λn－1.10分(3)在(2)中，若λ＝1，则cn＝0也适合，∴当λ≠3时，cn＝·λn－1.从而由(1)和(2)可知an＝当λ＝3时，bn＝，显然不满足条件，故λ≠3.当λ≠3时，bn＝×n－1－.若λ>3时，>0，bn0，－>0，bn>bn＋1，n∈N*，且bn>0.∴只需b1＝＝1≤3即可，显然成立．故0<λ<1符合条件；若λ＝1时，bn＝1，满足条件．故λ＝1符合条件；若1<λ<3时，<0，－>0，从而bn0，故bn∈，要使bn≤3成立，只需－≤3即可．于是1<λ≤.综上所述，所求实数λ的范围是.16分3．(2016·南京盐城二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an＝(－1)nSn＋pn(p为常数，p≠0)．(1)求p的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)设集合An＝{a2n－1，a2n}，且bn，cn∈An，记数列{nbn}，{ncn}的前n项和分别为Pn，Qn.若b1≠c1，求证：对任意n∈N*，Pn≠Qn.[解](1)由a1＝－S1＋p，得a1＝.由a2＝S2＋p2，得a1＝－p2，所以＝－p2.又p≠0，所以p＝－.3分(2)由an＝(－1)nSn＋n，得①＋②得an＋an＋1＝(－1)n(－an＋1)＋×n.当n为奇数时，an＋an＋1＝an＋1－×n，所以an＝－n＋1.8分当n为偶数时，an＋an＋1＝－an＋1＋×n，所以an＝－2an＋1＋×n＝2×n＋2＋×n＝n，所以an＝10分(3)证明：An＝，由于b1≠c1，则b1与c1一正一负，不妨设b1＞0，则b1＝，c1＝－.则Pn＝b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn≥－.设S＝＋＋…＋，则S＝＋…＋＋，两式相减得S＝＋＋…＋－＝＋×－＝－×－<.14分所以S＜×＝，所以Pn≥－＞－＝＞0.因为Qn＝c1＋2c2＋3c3＋…＋ncn≤－＋S＜－＋＝－＜0，所以Pn≠Qn.16分4．(2016·南通二调)设数列{an}的各项均为正数，{an}的前n项和Sn＝(an＋1)2，n∈N*.(1)求证：数列{an}为...

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