第21讲高考中的概率与统计题型一|互斥事件与事件的相互独立性甲、乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．(1)求甲同学至少有4次投中的概率；(2)求乙同学投篮次数ξ的分布列和数学期望．[解](1)设甲同学在5次投篮中，有x次投中，“至少有4次投中”的概率为P，则P＝P(x＝4)＋P(x＝5)＝C41＋C50＝.4分(2)由题意知ξ＝1,2,3,4,5.P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝××＝，P(ξ＝4)＝3×＝，P(ξ＝5)＝4＝.6分ξ的分布列为ξ12345P8分ξ的数学期望E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.10分【名师点评】1.一个复杂事件若正面情况较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．尤其是涉及到“至多”、“至少”等问题，常常用这种方法求解(如本题第(1)问)．2．求随机变量的期望时，应先求出随机变量的分布列，再用期望公式求解．1．甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．[解]用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”．则P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.2分(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)＝2＋×2＋××2＝.4分(2)X的可能取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝，P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝，6分P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.8分故X的分布列为X2345PE(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.10分2．某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是，，，且各阶段通过与否相互独立．(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列与均值．[解](1)记“该选手通过初赛”为事件A，“该选手通过复赛”为事件B，“该选手通过决赛”为事件C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率P＝P(A)＝P(A)P()＝×＝.3分(2)ξ可能取值为1,2,3.P(ξ＝1)＝1－＝，P(ξ＝2)＝×＝，P(ξ＝3)＝×＝.8分故ξ的分布列为ξ123Pξ的均值为E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.10分题型二|独立重复试验与二项分布(2016·苏锡常镇调研二)一个口袋中装有大小相同的3个白球和1个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，若有3次摸到红球即停止．(1)求恰好摸4次停止的概率；(2)记4次之内(含4次)摸到红球的次数为X，求随机变量X的分布列．[解](1)设事件“恰好摸4次停止”的概率为P，则P＝C×2××＝.4分(2)由题意，得X＝0,1,2,3，P(X＝0)＝C×4＝，P(X＝1)＝C××3＝，P(X＝2)＝C×2×2＝，P(X＝3)＝1－－－＝，8分∴X的分布列为X0123P10分【名师点评】1.注意辨别独立重复试验的基本特征：(1)在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；(2)在每次试验中，事件发生的概率相同．2．解决概率分布，应先明确是哪种类型的分布，然后代入公式，若随机变量X服从二项分布，可直接代入二项分布的期望公式．1．一个袋中装有形状大小完全相同的球9个，其中红球3个，白球6个，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止．(1)从袋中不放回地取球，求恰好取4次停止的概率P1；(2)从袋中有放回地取球．①求恰好取5次停止的概率P2；②记5次之内(含5次)取到红球的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．[解](1)P1＝＝.3分(2)①P2＝C×2×2×＝.②随机变量ξ的取值为0,1,2,3，由n次独立重复试验概率公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k，得P(ξ＝0)＝C×5＝；P(ξ＝1)＝C××4＝；5分P(ξ＝...
