专题限时集训(二十二)高考中的概率与统计(建议用时：45分钟)1．(2016·南京盐城二模)甲、乙两人投篮命中的概率分别为与，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．(1)求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；(2)设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．[解](1)比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球.2分所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率P＝C23＋C2C3＋C3C3＝.4分(2)ξ的取值为0,1,2,3，所以ξ的概率分布列为ξ0123P所以数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.10分2．(2016·苏北四市摸底)已知某校有甲、乙两个兴趣小组，其中甲组有2名男生、3名女生，乙组有3名男生、1名女生，学校计划从两兴趣小组中随机各选2名成员参加某项活动．(1)求选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数；(2)记X为选出的4名选手中女选手的人数，求X的概率分布列和数学期望．[解](1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为C·C·C＋C＝21种.3分(2)X的可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝.8分X的分布列为X0123PE(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.10分3．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为.现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有一个取到白球时终止．用X表示取球终止时取球的总次数．(1)求袋中原有白球的个数；(2)求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．[解](1)设袋中原有n个白球，则从9个球中任取2个球都是白球的概率为，由题意知＝，即＝，化简得n2－n－30＝0.解得n＝6或n＝－5(舍去)，故袋中原有白球的个数为6.3分(2)由题意，X的可能取值为1,2,3,4.P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝；P(X＝4)＝＝.8分所以取球次数X的概率分布列为X1234P所求数学期望为E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.10分4．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，设随机变量ξ是以这三点为顶点的三角形的面积．(1)求概率P；(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．[解](1)从正方体的8个顶点中任取3个顶点，共有C＝56种．因为正方体的棱长为1，所以若以三点为顶点的三角形的面积为，则该三角形的两边恰为正方体的两条相邻棱．正方体的每个顶点处有3条相邻棱，所以面积为的三角形共有8C＝24个，因此P＝＝.3分(2)显然，三角形的三边不可能都是正方体的棱．若三角形恰有一边为正方体的棱，则对于每一条棱，满足条件的第三个顶点只有2种选择，所以共有2×12＝24个这样的三角形，且三角形的面积为，于是P＝＝.若三角形的边都不是正方体的棱，则这样的三角形是以面对角线为边的正三角形，其面积为，所以P＝1－P－P＝1－－＝.8分所以随机变量ξ的分布列是ξP因此E(ξ)＝×＋×＋×＝.10分5．(2016·南通二调)一个摸球游戏，规则如下：在一不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球．参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次．参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k倍的奖励(k∈N*)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X元．(1)求概率P(X＝0)的值；(2)为使收益X的数学期望不小于0元，求k的最小值．(注：概率学源于赌博，请自觉远离不正当的游戏！)[解](1)事件“X＝0”表示“有放回的摸球3回，所指定的玻璃球只出现1次”，则P(X＝0)＝3××2＝.3分(2)依题意，X的可能值为k，－1,1,0，且P(X＝k)＝3＝，P(X＝－1)＝3＝，P(X＝1)＝3×2×＝，8分结合(1)知，参加游戏者的收益X的数学期望为E(X)＝k×＋(－1)×＋1×＝(元)．为使收益X的数学期望不小于0元，所以k≥110，即kmin＝110.10分6．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标...
