第十八章简单的复合函数的导数考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度20132014201520162017简单的复合函数的导数1.求简单复合函数的导数2.简单复合函数导数的应用B解答题★☆☆分析解读虽然简单的复合函数的导数近五年江苏高考没有涉及,但作为附加题的一个考点,本章仍是高考命题的一个素材,要关注其与二项式定理相结合的试题.命题探究(1)证明:f'(x)=m(emx-1)+2x.若m≥0,则当x∈(-∞,0)时,emx-1≤0,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,emx-1≥0,f'(x)>0.若m<0,则当x∈(-∞,0)时,emx-1>0,f'(x)<0;当x∈(0,+∞)时,emx-1<0,f'(x)>0.所以,f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(2)由(1)知,对任意的m,f(x)在[-1,0]单调递减,在[0,1]单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.所以对于任意x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要条件是即①设函数g(t)=et-t-e+1,则g'(t)=et-1.当t<0时,g'(t)<0;当t>0时,g'(t)>0.故g(t)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故当t∈[-1,1]时,g(t)≤0.当m∈[-1,1]时,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;当m>1时,由g(t)的单调性,g(m)>0,即em-m>e-1;当m<-1时,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.综上,m的取值范围是[-1,1].五年高考考点简单的复合函数的导数1.(2014广东,10,5分)曲线y=e-5x+2在点(0,3)处的切线方程为.答案5x+y-3=02.(2014江西,13,5分)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.答案(-ln2,2)3.(2014课标Ⅱ,21,12分)已知函数f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;(3)已知1.4142<<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001).解析(1)f'(x)=ex+e-x-2≥0,等号仅当x=0时成立.所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.(2)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4b(ex-e-x)+(8b-4)x,g'(x)=2[e2x+e-2x-2b(ex+e-x)+(4b-2)]=2(ex+e-x-2)(ex+e-x-2b+2).(i)当b≤2时,g'(x)≥0,等号仅当x=0时成立,所以g(x)在(-∞,+∞)上单调递增.而g(0)=0,所以对任意x>0,g(x)>0.(ii)当b>2时,若x满足20,ln2>>0.6928;当b=+1时,ln(b-1+)=ln,g(ln)=--2+(3+2)ln2<0,ln2<<0.6934.所以ln2的近似值为0.693.4.(2014江西,18,12分)已知函数f(x)=(x2+bx+b)(b∈R).(1)当b=4时,求f(x)的极值;(2)若f(x)在区间上单调递增,求b的取值范围.解析(1)当b=4时,f'(x)=,由f'(x)=0得x=-2或x=0.当x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-2,0)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故f(x)在x=-2处取极小值f(-2)=0,在x=0处取极大值f(0)=4.(2)f'(x)=,因为当x∈时,<0,依题意,当x∈时,有5x+(3b-2)≤0,从而+(3b-2)≤0.所以b的取值范围为.教师用书专用(5)5.(2013山东理,21,13分)设函数f(x)=+c(e=2.71828…是自然对数的底数,c∈R).(1)求f(x)的单调区间、最大值;(2)讨论关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数.解析(1)f'(x)=(1-2x)e-2x,由f'(x)=0,解得x=.当x<时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x>时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以,函数f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是,最大值为f=e-1+c.(2)令g(x)=|lnx|-f(x)=|lnx|-xe-2x-c,x∈(0,+∞).当x∈(1,+∞)时,lnx>0,则g(x)=lnx-xe-2x-c,所以g'(x)=e-2x.因为2x-1>0,>0,所以g'(x)>0.因此g(x)在(1,+∞)上单调递增.当x∈(0,1)时,lnx<0,则g(x)=-lnx-xe-2x-c,所以g'(x)=e-2x.因为e2x∈(1,e2),e2x>1>x>0,所以-<-1.又2x-1<1,所以-+2x-1<0,即g'(x)<0.因此g(x)在(0,1)上单调递减.综上,当x∈(0,+∞)时,g(x)≥g(1)=-e-2-c.当g(1)=-e-2-c>0,即c<-e-2时,g(x)没有零点,故关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为0;当g(1)=-e-2-c=0,即c=-e-2时,g(x)只有一个零点,故关于x的方程|lnx|=f(x)根的个数为1;当g(1)=-e-2-c<0,即c>-e-2时,①当x∈(1,+∞)时,由(1)知g(x)=lnx-xe-2x-c≥lnx->lnx-1-c,要使g(x)>0,只需使lnx-1-c>0,即x∈(e1+c,+∞);②当x∈(0,1)时,由(1)知g(x)=-lnx-xe-2x-c≥-lnx->-lnx-1-c,要使g(x)>0,只需-lnx-1-c>0,即x∈(0,e-1-c),所以c>-e-2时,g(x)有两个零点,故关于x的方程...
