专题强化训练(九)三角函数、平面向量一、选择题1．[2019·太原一模]已知tanα＝2，α∈(0，π)，则＝()A.B．－C.D．－解析：解法一：因为tanα＝2，α∈(0，π)，所以α是第一象限的角，如图，由任意角的三角函数的定义可知P(1,2)是α终边上一点，则有|OP|＝＝，所以cosα＝＝，所以＝＝－2cosα＝－，选B.解法二：因为tanα＝2，α∈(0，π)，所以α是第一象限的角．由tanα＝＝2得sinα＝2cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，得4cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝，解得cosα＝或cosα＝－(舍去)，所以＝＝－2cosα＝－，选B.答案：B2．[2019·合肥质检二]在△ABC中，BD＝DC，则AD＝()A.AB＋ACB.AB＋ACC.AB＋ACD.AB－AC解析：通解：因为BD＝DC，所以B，D，C三点共线，且BD＝BC，如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以AD＝AE＋AF.因为BD＝BC，所以AE＝AB，AF＝AC，所以AD＝AB＋AC，故选B.优解一：因为BD＝DC，所以BD＝BC，所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，故选B.优解二：因为BD＝DC，所以BD＝BC，所以AD－AB＝(AC－AB)，所以AD＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，故选B.答案：B3．[2019·广州综合测试二]已知sinα＋cosα＝，其中α∈，则tan2α＝()A．－B．－C.D.解析：解法一：由sinα＋cosα＝可得(sinα＋cosα)2＝，解得sinαcosα＝－，联立得，可得sinα，cosα是方程y2－y－＝0的两根，因为α∈，所以sinα＝，cosα＝－，则tanα＝－，所以tan2α＝＝＝，选D.解法二：由sinα＋cosα＝可得(sinα＋cosα)2＝，解得sinαcosα＝－，又α∈，所以sinα>0，cosα<0，sinα－cosα>0，则(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝，故sinα－cosα＝，联立得，解得，则tanα＝－，所以tan2α＝＝＝，选D.答案：D4．[2019·福建质检]将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象的一个对称中心为()A.B.C.D.解析：将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝sin＝sin，令2x－＝kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，故所得图象的一个对称中心为，选A.答案：A5．[2019·郑州质量预测二]在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在边AC的中线BD上，则CP·BP的最小值为()A．－B．0C．4D．－1解析：通解：因为BC＝2，AC＝4，∠C＝90°，所以AC的中线BD＝2，且∠CBD＝45°.因为点P在边AC的中线BD上，所以设BP＝λBD(0≤λ≤1)，如图所示，所以CP·BP＝(CB＋BP)·BP＝(CB＋λBD)·λBD＝λCB·BD＋λ2·BD2＝λ|CB|·|BD|cos135°＋λ2×(2)2＝8λ2－4λ＝82－，当λ＝时，CP·BP取得最小值－，故选A.优解：依题意，以C为坐标原点，分别以AC，BC所在的直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,2)，D(2,0)，所以直线BD的方程为y＝－x＋2，因为点P在边AC的中线BD上，所以可设P(t,2－t)(0≤t≤2)，所以CP＝(t,2－t)，BP＝(t，－t)，所以CP·BP＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝22－，当t＝时，CP·BP取得最小值－，故选A.答案：A6．[2019·石家庄一模]已知非零向量a与b的夹角为，且|b|＝1，|a＋2b|＝2，则|a|＝()A．1B．2C.D．2解析：通解： |a＋2b|＝2，∴|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4，又a与b的夹角为，|b|＝1，∴|a|2－2|a|＋4＝4，∴|a|2－2|a|＝0，又a≠0，∴|a|＝2，故选B.优解一：如图，设a＝(m,0)(m＞0)， a与b的夹角为，|b|＝1，∴b＝，∴a＋2b＝(m－1，)． |a＋2b|＝2，∴(m－1)2＋3＝4. m＞0，∴m＝2，∴|a|＝2，故选B.优解二：在如图所示的平行四边形中， |b|＝1，∴|2b|＝2，又a与b的夹角为，|a＋2b|＝2，∴此平行四边形是菱形，∴|a|＝2，故选B.答案：B7．[2019·合肥质检二]将函数f(x)＝2sin－1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()A．函数g(x)的图象关于点对称B．函数g(x)的最小正周期是C．函数g(x)在上单调递增D．函数g(x)在上的最大值是1解析：由题意知，函数f(x)的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数g(x)＝2sin－1，由2x＋＝0，得x＝－，可知函数g(x)的图象的一个对称中心为，所以选项A不正确；g(...
